Вибір величини рівня значимости

У попередньому параграфі було показано, що задача побудови критерію оцінки гіпотези на основі відомого значення випадкової величини і постульованої функції може бути вирішена, якщо задатися величиною рівня значимости критерія, що визначає розміри критичної області функції . Порівнюючи формули (23) і (24), неважко переконатися, що , тобто рівень значимости по визначенню співпадає з імовірністю відхилити гіпотезу , що перевіряється, коли вона у дійсності вірна. Тому вибір, наприклад, 1%-го рівня значимости означає, що лише в одному випадку застосування критерію з ста вірна у дійсності гіпотеза буде відхилена. Звідси на перший погляд здається, що необхідно завжди прагнути задавати найбільш низьке значення рівня значимости. Проте це не так.

На початку цієї глави було показано, що зменшення імовірності веде до одночасного зменшення ймовірності відхилити гіпотезу , коли вона є неправдивою. Таким чином, прагнення надмірної безпеки від бракування правильної в дійсності гіпотези може притягти за собою небажане зниження чутливості критерію, що використається, по відношенню до неправдивої гіпотези.

Компроміс поміж імовірностями відхилити вірну і невірну в дійсності гіпотези забезпечується, якщо при виборі рівня значимости керуватися певними рекомендаціями, виробленими практикою застосування статистичних гіпотез.

Прийняття гіпотези. Якщо гіпотеза, що перевіряється приймається із 5% або більш високим значенням рівня значимости, тл гіпотезу, безумовно, слідує визнати такою, що узгодиться з отриманими експериментальними даними.

Якщо гіпотеза, що перевіряється може бути прийнята з рівнем значимості, меншим 5%, але більшим 1%, то можна або піти на ризик прийняття гіпотези, або взяти гіпотезу під сумнів. В такий ситуації слідує визнати доцільним провести повторний експеримент для отримання даних, на підставі яких можна було б зробити більш певні висновки.

Застосування критерію з більш низьким, ніж 1%, значенням рівня значимости для прийняття гіпотези слідує уникати.

Відхилення гіпотези. Якщо гіпотеза відхиляється з 1% або більш низьким значенням рівня значимости, то гіпотезу, безумовно, слідує визнати такою, що не узгодиться з отриманими експериментальними даними.

Якщо гіпотеза, що перевіряється може бути відкинута застосуванням більш високого рівня значимости, що лежить між 1 і 5% значеннями, то гіпотезу або також потрібно відкинути, або лише поставити під сумнів і, повторивши експеримент, знову оцінити висунуту гіпотезу.

Застосування 5% та більш високого значення рівня значимости не дає підстав для відхилення гіпотези.

Гіпотеза, що формулюється для статистичної перевірки, може відноситися до параметрів передбачуваного розподілу генеральної сукупності (наприклад, до середнього або дисперсії нормального розподілу). Критерій для перевірки такої гіпотези про параметри називається параметричним критерієм. Проте не завжди можна сказати заздалегідь, яка саме функція розподілу має місце. Тому були розроблені засоби перевірки, що дозволять порівняти розподіли, не знаючи їхніх параметрів чи форм. Такі критерії, які основані на порівнянні функцій розподілу (а не параметрів), називаються непараметричними критеріями. Вони мають певні переваги у порівнянні з параметричними завдяки меншим вимогам до їхнього застосування, більшого діапазону можливостей і часто більшої простоти реалізації. Звичайно, потрібно враховувати і часто більш низьку точність цих критеріїв у порівнянні з параметричними.

Результати статистичних методів перевірки часто бувають незручні для аналітиків. В багатьох випадках вони дадуть незначимі () чи спірні (0.95 < < 0.99) розбіжності, хоча на основі суб’єктивного досвіду вже встановлена "істинна" розбіжність. У подібних випадках часто допомагають додаткові виміри (модельні експерименти). Чим

більше отримано результатів, тим менші розбіжності будуть доетовірно фіксуватися. Ні в якому випадку не можна спокушуватися заміною точних даних сумнівними, тобто на підставі суб'єктивної оцінки.

Розподіл Ст’юдента

У попередній главі ми вже відзначали, що нормальность закону розподілу помилок експерименту постулюється, тобто приймається такою, що відповідає істині без доказу. Грунтуючись на цьому, інтервал, в якому змінюється помилка, вважають на практиці рівним 2 (тобто кажуть, що з "імовірністю 0.95 випадкова величина знаходиться в інтервалі... "). Саме величина 2 визначає імовірність, яка дорівнює 0,95. Проте у дійсності генеральна дисперсія залишається невідомою. Тому невідома і міра цієї помилки – відносна величина . Для великих можна вважати, що і застосування постулату буде закономірним. У противному же випадку величина може значно відхилятися від значення , а значить, інтервал, в якому розташована випадкова величинах із тією ж імовірністю 0.95, буде різко відрізнятися від розрахованого в припущенні про нормальність розподілу, відносно похибки U. Якраз це обумовило розробку інших законів розподілу, що використаються у математичній обробці експериментів.

Розподіл випадкової величини, аналогічної , в якому замість генерального средньоквадратичного відхилення стоїть відповідне вибіркове відхилення, тобто

вперше було запроваджене Ст’юдентом (псевдонім англійського хіміка Госсета) і носить назву розподілу Ст’юдента.

Функція щільності імовірності величини t визначається числом ступенів свободи вибіркової дисперсії .

При значеннях функція розподілу Ст’юдента задовільно апроксимується функцією нормального розподілу. Тому вже з числа вимірів у експерименті більш ніж 20 звичайно для обчислення величин довірчих інтервалів і помилок можна використовувати нормальний закон. При невеликому же числі вимірів (а значить, і числі ступенів свободи) розподіл Ст’юдента істотно відрізняється від нормального. У цьому випадку інтервал, в якому з деякою імовірністю зосереджена величина, що досліджується, розраховують не по

таблицям Гаусса, а по таблицям -розподілу (додаток 2).

Якщо імовірність для випадкової величини потрапити у будь-який інтервал задана, те границі цього інтервалу будуть характеризуватися величинами і , що залежать від числа ступенів свободи і визначаються з умови

Приклад. Знайти величину інтервалу, для якого імовірність ность попадания випадкової величини , що має один ступінь свободи, який дорівнює 0.95.

Маємо, За допомогою додатку 2 знаходимо Звідси шуканий інтервал дорівнює (-12,706;+12,706).