Вибраних точок і способом середнього

Нехай дані спостережень представлені у вигляді табл. 3.2. Побудуємо в системі координат точки та проведемо пряму таким чином, щоб вона проходила якомога ближче до цих точок. Далі виберем на прямий дві довільні точки і . Їхні координати знайдемо за допомогою циркуля або підрахувавши довжину відповідних відрізків, скористувавшись мілиметровим папером. Отримаємо дві пари чисел та . Рівняння прямщї, що проходить через дві дані, і визначить параметри емпіричної формули:

У цьому і полягає спосіб вибраних точок.

Розглянемо тепер спосіб середньої. Розіб'ємо результати спостережень, поміщених у табл. 3.1, на дві рівні (або майже рівні) по об'єму групи. Для визначення параметрів a i b

зажадаємо, щоб відхилення взаємно погашалися в кожній групі:

(38)

тобто, щоб виконувались рівності

Після перегрупування доданків переходимо до системи двох рівнянь з двома невідомими:

(39)

Числа і , які знайдені з (39), підставляють в рівняння .

Приклад 1. Використовуючи метод вибраних точок знайти кореляційну залежність , якщо результати спостережень надані в наступній таблиці

	2,8	1,3	4,1	2,1	3,9

Розв’язання. Будуємо точки М₁ (1; 2,8), М₂ (2; 1,3), М₃ (3; 4,1), М₄ (4; 2,1), М₅ (5; 3,9). Проведемо пряму l. Виберемо дві точки N₁ та N₂ і зміряємо їхні координати. Нехай N₁ (1; 2), N₂ (4; 3,3). Запишемо рівняння

В результаті перетворень отримаємо y=0,43x+1,57. Таким чином a = 0,43, b =1,57.

Приклад 2. Використовуючи спосіб середньої, знайти кореляційну залежність вигляду y = ax + b, якщо результати спостережень уявлені та6лицею прикладу1.

Розв’язання. Розбиваємо результати на дві групи. Нехай m=2, n-m=3. Для побудови системи рівнянь обчислення проведемо у допоміжній таблиці

1,0	2,8	3,0	4,1
2,0	1,3	4,0	2,1
		5,0	3,9
	4,1	12,0	10,1

Розв’язавши систему

знаходим a=0,53, b=1,26, y=0,53x+1,26.

Приклад 3. Використовуючи метод найменших квадратів, знайти кореляційну залежність виду y=ax+b, якщо результати спостережень представлені таблицею прикладу1.

Розв’язання. Для визначення параметрів a і b скористуємось системою

 

Обчислення коефіцієнтів a і b проведемо в допоміжній габлиці.

Номер спостереження
		2,8		2,8
		1,3		2,6
		4,1		12,3
		2,1		8,4
		3,9		19,5

Ррзв’язавши систему, знаходимо a=0,3, b=1,94, y=0,3x+1,94.

Як ми бачимо, застосувавши різні методи ми отримали і різні результати. Значна відмінність між ними пояснюється тим, що ми мали дуже малий об’єм вибіркових даних (всього п’ять спостережень). Метод найменших квадратів має найбільш строге математичне обгрунтування, тому результати, отримані за його допомогою, вважаються найбільш достовірними.