Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Тренди і автокореляція у часових рядах

В загальному випадку динамічний (часової) ряд при побудові perресивної моделі представляється наступними складовими:

¨ тренду ;

¨ циклічної (найчастіше сезонної) компоненти ;

¨ випадкової компоненти .

Основна мета] регресивного аналізу – виявити систематичні компоненти і оцінити характер нерегулярності в названій „випадковій” складовій. Як ми уже відзначали, саме стохастичність нерегулярної компоненти забезпечує придатність теорії помилок і, отже, можливість оцінити адекватність економетричної моделіє

Отже, будемо розглядати процесс

Виявити тренд можна, наприклад, методом перевірки різниць середніх рівнів. Для цього початковий часовий ряд розбивають на дві приблизно рівні групи та і для кожної з них обчислюють вибіркове середнє та дисперсію. Після цього перевіряють гіпотезу про рвіність дисперсій по критерію Фішера. Якщо розраховане значення

або

менше табличного , де - заданий рівень значимості, то гіпотезу про рівність дисперсій приймають і переходять до наступного кроку, який полягає в перевірці гіпотези про відсутність тренду з використанням - критерію Ст’юдента. В протилежному випадку робиться висновок про неможливість даним методом виявити тренд.

Розрахункове значення критерію Ст’юдента визначається по формулі

де - середні по віділеним групам;

- середнє квадратичне відхилення різниці середніх:

Якщо розрахункове значення менш табличного значення статистики Ст’юдента

із заданим рівнем значимости , то приймається гіпотеза про відсутність тренду, у противному випадку тренд є.

Для знаходження тренду в часовому ряді можна також використовувати критерій на дрейф Нойманна. При цьому в якості нульової гіпотези перевіряють, чи залежні ці послідовні рівня один від одного, тобто чи є дрейф в часі. З цією метою розраховують величину

і порівнюють зі значеннями з наведеними нижче критичних значень критерію Нойманна. Нуль-гіпотеза відхиляється, якщо лежить нижче табличного значення для заданого рівня значимости. Відхилення нуль-гіпотези підтверджує наявність тренду в часовому ряді.

У якості наближення в області 10 < n < 30 можна використати наступні співвідношення:

Критичні значення критерію Нойманна

n	P=0,95	P=0,99
	0,78	0,59
	0,82	0,42
	0,89	0,36
	0,98	0,40
	1,06	0,48
	1,13	0,56
	1,18	0,62
	1,23	0,68
	1,27	0,74
	1,30	0,79
	1,37	0,88
	1,41	0,96
	1,49	1,08

Швидше за все виявити тренд дозволяє критерій знаків, про який ми вели мову вище. У цьому випадку часовий ряд ділять навпіл віднімають відповідні значення першої половини з другої. Перевіряють, чи немає серед знаків разностей переваги якихось знаків. Тоді можна говорити про висхідну або спадну тенденцію в часовому ряді. Цей метод із-за його простоти краще використовувати при довгих рядах вимірів.

Після виявлення тренду в часовому ряді переходять до його згладжування. Порядок згладжування часового ряду аналітичними методами зводиться до побудови гладкої функції одного з розглянутих у попередніх параграфах видів (лінійний, параболічний, експоненційний). Здійснюється це, наприклад, методом найменших квадратів у відповідності із уже викладеною нами теорією. Проте в загальному випадку перед переходом до остаточної побудови економетричної моделі, придатної для прогнозу, необхідно або довести відсутність сезонних (циклічних) коливань і залежності наступного рівня ряду від попередніх, або провести їх адекватні врахування.

Залежність значень рівнів часового ряду від попереднього (зміщення на один часовий інтервал), попереднього (зміщення на два часових інтервала) і т. д. рівнів того ж часового раду називається автокореляцією в часовому ряді. Численою хактеристикою автокореляції є автокореляційна функція, що являє собою послідовність коефіцієнтів автокореляції, що розраховуються по залежності

де - порядок коефіцієнта автокореляції, який дорівнює здвигу в часі по рівням ряду;

- середній рівень часового ряду.

Виявлення наявності сезонних (циклічних) коливань вимагає фільтрування компонент, тобто вичлинення до складових . Якщо циклічна компонента присутня у вихідних даних, то при побудові економетричної моделі її необхідно виключити. Для встановлення циклічності використовують графічні методи або метод послідовних різниць, що полягає в розрахунку перших різниць для лінійного тренду, або других різниць для параболічного тренду з наступним встановленням наявності тенденції в їх зміні. Ступеневий, а рівно і експоненційний тревд наражають на попереднє логарифмовання. Якщо певна тенденція присутня (а це можна встановити, наприклад, по критерію знаків), то в подальшому економетричну модель будують або по першим різницям, або обчислюють компоненту по методу Четверикова або методу Шискина-Ейзенпреса. Викладення цих методів можна знайти у більш повних курсах економетриї.

При проведенні експрес-аналізу використання названих вище методів недоцільно в силу їхньої громіздкості. Тому при наявністі циклічності частіше економетричну модель будують не в аддитивному представленні, а в мультипликативному, тобто

де - постійна.

Коефіцієнт пропорційності , що називається також індексом сезонности, визначають по прийнятим до розгляду циклам наступним чином:

де

Таким чином, індекс сезонности характеризує ступінь відхилення сезонного часового ряду від тренду.

Після того як ycтaнoвлeнo відсутність сезонної компоненти або вона відфільтрована від тренду, переходять до виявлення автокореляції в часовому ряді. Здійснюється це шляхом перевірки відсутності автокореляції в остаточній послідовності . Найчастіше для цього використовують -критерій Дарбіна-Уотсона, розраховуючи величину

де величина розраховується по формулі

а - рівень вихідного часового ряду з номером .

Значення -критерію порівнюється з критичними значеннями статистики Дарбіна-Уотсона, яка складена для різної кількості рівней і кількості факторів , що враховуються в економетричній моделі. Фрагмент даної таблиці для рівня значущості має наступний вигляд:

n	K=1	K=2	K=3

	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75
	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68
	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65

Якщо розрахункове значення більше верхнього табличного значення критерію Дарбіна-Уотсона, то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції, тобто про незалежність рівнів часового ряду. У противному випадку гіпотеза про незалежність рівнів остаточної послідовності відкидається, отже, вибрана економетрична модель визнається неадекватною.

Потрібно відзначити, що висновок про адекватність трендової моделі припускає не тільки відсутність автокореляції в остаточній послідовності, але й позитивні відповіді на питання про правильність вибранного виду тренда, про підпорядкованість випадкової компоненти закону нормального розподілу і про рівність математичного очікування випадкової компоненти нулю. Для відповіді на дані питання використовуючи ряд, що складений з компонент , розраховують його асиметрію А та ексцес Е (див. попередні розділи). Гіпотеза про нормальний характер розподілу випадкової компоненти приймається при одночасному виконанні наступних нерівностей:

де

Висновок про правильність вибору виду тренда можна здійснити за допомогою критерію знаків, що вже згадувався, або методом аналізу повотніх точок. В останньому випадку розглядають остаточну послідовність . Рівень послідовності вважається максимумом, якщо він більше двох рівнів, що стоять поруч, і мінімумом, якщо він менш обох сусідніх рівнів. Для ряду, що досліджується, підраховують, кількість поворотніх точок, тобто максимумів та мінімумів. Позначимо його через . Якщо послідовність носить випадковий характер, то математичне очікування числа точок повороту і відповідна дисперсія можуть бути розраховані по наступним формулам:

де - загальна кількість членів часового ряду. Доведено, що с рівнем значимости в 5% можна вважати трендову модель адекватною реальному процесу, якщо

В даній формулі дужки означають цілу частину числа, а коефіцієнт 1,96 є значенням аргументу функції Лапласа. Тому дана формула може бути застосована тільки після доведення нормальності розподілу випадкової компоненти.

Завершують перевірку aдeквaтнocті трендової моделі розрахунком середнього арифметичного значення випадкової компоненти и перевіркою гіпотези про рівність її математичного очікування до нуля. При цьому розраховується экспериментальне значення -статистики:

де - середнє арифметичне значення рівней остаточної послідовності;

- стандартне відхилення для цієї послідовності.

Якщо отримане значення виявляється меншим, ніж критичні значення критерію Ст’юдента для заданого рівня значимости, то гіпотеза про рівність нулю математичного очікування випадкової компоненти приймається. У противному випадку дана гіпотеза відкидається, а обраний вид економетричної моделі признається неадекватным.

⇐ Предыдущая 34 35 36 37 38 39 404142 43 Следующая ⇒