Геометрическая интерпретация
Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить их структуру и выявить особенности. Графически можно решить только задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными. Случай двух переменных проясняет свойства ЗЛП, приводит к идее ее решения, делает решения геометрически наглядными. Пусть дана задача: f=c1x1+c2x2
Рассмотрим геометрическую интерпретацию элементов этой задачи. Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат x 1 Ox 2и сопоставим каждой паре чисел (x 1 ,x 2) точку плоскости с координатами x 1 и х 2. Выясним сначала, что представляет собой множество точек, соответствующих допустимым решениям данной задачи. Рассмотрим одно линейное неравенство Оно определяет на плоскости одну из двух полуплоскостей, на которые прямая Каждое из ограничений (9), (10) задает на плоскости х 1 Oх 2 некоторую полуплоскость. Допустимое множество планов ЗЛП геометрически изображается пересечением (общей частью) полуплоскостей, определяемых отдельными ограничениями. Полуплоскость - выпуклое множество. Множество называется выпуклым, если ему вместе с двумя произвольными точками принадлежит и прямолинейный отрезок, их соединяющий. Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Таким образом, область допустимых планов задачи (8) - (10) есть выпуклое множество. На рисунке 1 представлены некоторые ситуации, когда область допустимых решений ЗЛП - выпуклый многоугольник (а), неограниченная выпуклая многоугольная область (б), единственная точка (в), прямая линия (г), луч (д), отрезок (е), пустое множество (ж).
0 а) X1 0 X1
![]()
г)
0 Х1 0 Х1 0 Х 1
Х2 Х2
Х1
Рисунок 1
Перейдем к геометрической интерпретации целевой функции. Пусть область допустимых решений ЗЛП многоугольник ABCDE (рисунок 2).
E
0 X1
Рисунок 2
Выберем произвольное значение целевой функции f = f 0, например f 0 =0. Получим c 1 x 1+ c 2 x 2= f 0 . Это уравнение прямой линии MN. В точках прямой MN целевая функция сохраняет одно и то же постоянное значение f 0. Считая f 0 параметром, получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции. Нас интересуют те точки области допустимых решений, которые принадлежат линии уровня с наибольшим (наименьшим) значением f 0 по сравнению с его значениями для всех других линий уровня, пересекающихся с областью допустимых решений. Рассмотри частные производные функции цели по переменным x1 и х2, то есть по направлению осей координат:
Каждая частная производная функции показывает скорость ее возрастания вдоль соответствующей оси. Следовательно, с 1 и с 2 - скорости возрастания вдоль осей Oх1 и Oх2. Вектор
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|