 |
Транспортная задача с усложнениями
|
|
|
|
Часто при решении транспортных задач возникает необходимость введения дополнительных ограничений (условий). Рассмотрим наиболее часто встречающиеся условия, используемые при решении задач транспортного типа.
1. Запрет перевозок от i -го поставщика к j- му потребителю.
Для определения оптимальных планов таких задач предполагают, что тариф перевозки единицы груза из пункта Аi в пункт Вj является столь угодно большой величиной M, и при этом условии известными методами находят решение новой транспортной задачи. При таком предположении исключается возможность при оптимальном плане ТЗ перевозить грузы из Аi в Вj. Такой подход к нахождению решения ТЗ называется запрещением перевозок или блокированием соответствующей клетки таблицы данных задачи.
2. Фиксированная поставка.
В отдельных ТЗ дополнительным условием является обеспечение перевозки по соответствующим маршрутам определенного количества груза. Пусть, например, из пункта Аi в пункт Вj требуется обязательно перевезти αij ед.груза. Тогда в ячейку таблицы данных ТЗ, находящуюся на пересечении строки Аi и столбца Вj, записывают указанное число αij и в дальнейшем эту ячейку считают свободной со сколь угодно большим тарифом перевозок М. Для полученной таким образом новой ТЗ находят оптимальный план, который определяет оптимальный план исходной задачи.
3. Нижние границы на поставки.
Иногда требуется найти решение ТЗ, при котором из пункта Аi в пункт Вj должно быть завезено не менее заданного количества груза αij. Для определения оптимального плана какой задачи считают, что запасы пункта Аi и потребности пункта Вj меньше фактических на αij ед. Далее находят оптимальный план новой ТЗ, на основании которого и определяют решение исходной задачи. После этого к значению переменной хij добавляют αij.
|
|
|
4. Верхние границы на поставки.
Внекоторых ТЗ требуется найти оптимальный план перевозки при условии, что из пункта отправления Аi в пункт Вj перевозится не более чем αij единиц груза, т.е. xij≤αij. Для сведения условия задачи к разрешимому типу поставщика Аi или потребителя Вj (либо того, либо другого) делят на две части, как бы на два самостоятельных поставщика (или потребителя). При этом мощности этих условно самостоятельных поставщиков будут равны: А ′ i = αij и А ′′ i = Аi - αij. Затраты на поставку продукции от пос-
| или |  .
| тавщика А ′ i к Вj и другим потребителям принимаются равными затратам, заданным в матрице C=(сij) m x n . Затраты с ′′ ij на постав- |
ку продукции от поставщика А ′′ i к Вj принимаются равными с ′′ ij = М, где М – сколь угодно большое число. Затраты на поставку от А ′′ i к другим потребителям (помимо Вj) принимаются равными заданным в матрице C =(сij) m x n . Подобный прием обеспечивает положение, при котором переменная 
в решении задачи непременно будет равна нулю, в то время как переменная 
может принимать любое значение от нуля до aij, 0≤ xij ≤αi j. После получения оптимального решения соответствующие переменные поставщиков А ′ i и А ′′ i (или потребителей В ′ i и В ′′ i) складываются.
| Пример 4. Найдем решение ТЗ, исходные дан-ные которой приведены в табл.10 с учетом того, что из пункта А 1 в пункт В 1 перевозки не могут быть осуществлены, а из пункта А 3 в пункт В 1 будет завезено 10 ед. груза. | Таблица 10 | |||||||||||||||||||
|
Так как из А 1 в В 1 перевозки не могут быть осуществлены, то в ячейке (1,1) тариф считаем равными некоторому сколь угодно большому числу М. Полагаем равным этому же числу и тариф для ячейки (3,1). Одновременно в эту клетку помещаем число 10, так как по условию из А 3 в В 1 нужно завезти 10 единиц груза. В дальнейшем ячейку (3,1) считаем свободной со сколь угодно большим тарифом М. Находим опорный план методом наименьшей стоимости и проверяем его на оптимальность.
|
|
|
|
| Он не оптимален, так как одна оценка является положительной (1). Строим новый план (итерация 1). Он является оптимальным. Следовательно, исходная ТЗ имеет оптимальный план
 .
|
Å4
При этом общая стоимость перевозок
z* =4´30+1´35+4´40+5´20+2´25+5´10+1´60=575 ден. ед. является минимальной.
| Пример 5. Найдем решение ТЗ, исходные данные которой приведены в табл.11 с учетом того, что из пункта А 2 в пункт В 4 завезти не менее 5 ед. груза, а из А 2 в В 1 – не более 30 ед. груза. | Таблица 11 | |||||||||||||||||||
|
Так как из А 2 в В 4 необходимо завезти не менее 5 ед.груза, то запасы этих пунктов отправления и назначения считаем меньшими на 5 ед.
| Итерация 0 | Итерация 1 | |||||||||||||
| Вj Аi | ui | Вj Аi | ui | |||||||||||
 3
⊖
| -1 | Å3 М- 4 | 4 -М | 3 -М | 4 -М |  ⊖ 1
| Å 3 | |||||||
| Å 4 | М ⊖ | Å 2 М- 4 | ⊖ М | М- 3 | ||||||||||
| -5 | --1 | --5 | М- 9 | -3 | -5 | -1 | М- 9 | М- 9 | М- 7 | |||||
| vj | М- 1 | vj | 7 -М | 8 -М | 9 -М |
Кроме того, поскольку из А 2 в В 1 необходимо завезти не более 30 ед. груза, то пункт назначения В 1 разобьём на два пункта: потребности В 1 теперь считаем равными 30 ед. и рассмотрим дополнительный
|
|
|
| Итерация 2 | пункт В ′′1 с потребностями, равными 50-30=20 ед. В столбце В ′′1 записываем тарифы, помещённые в ячейках столбца В 1, за исключением ячейки (2,1′′). В этой ячейке тариф полагаем равным некоторому сколь угодно большому числу М. Решение задачи методом потенциалов приведено в таблицах итер. 0–2. | ||||||
| Вj Аi | ui | ||||||
| -1 | |||||||
| М 4 -М | |||||||
| -5 | --1 | --1 | - 5 | -3 | |||
| vj |
Как видно из таблицы итер. 3, исходная ТЗ имеет оптимальный план
.
Мы сложили соответствующие переменные столбцов В 1 и В ′′1 и добавили 5 ед. груза в ячейку (2,4) исходя из дополнительных условий задачи. При этом общая стоимость перевозок является минимальной.
z* =3´20+1´45+4´30+5´10+6´30+2´15+1´70=555 ден. ед.
|
|
|
