В чём смысл частных производных?
По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную:
! Примечание: здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям. В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку Вычислим частную производную по «икс» в данной точке: Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат: Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат. Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, (и вообще из любой точки данной поверхности) мы можем сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности
Систематизируем элементарные прикладные правила: 1) Когда мы дифференцируем по 2) Когда же дифференцирование осуществляется по 3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре. Обозначения: Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной. Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка: Сначала найдем смешанные производные: Как видите, всё просто: берем частную производную Аналогично: В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство: Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка. Находим вторую производную по «икс». Аналогично: Следует отметить, что при нахождении
Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных. Но всему своё время: Пример 2 Вычислить частные производные первого порядка функции Это пример для самостоятельного решения (ответы в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, вернитесь к уроку Как найти производную? А вообще, довольно скоро вы научитесь находить подобные производные «с лёту». Набиваем руку на более сложных примерах: Пример 3 Найти частные производные первого порядка функции Решение: Находим частные производные первого порядка: Обратите внимание на подстрочный индекс: Дальнейшие комментарии: (1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае (2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни. (1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является (2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения (3) Не забываем, что Теперь находим смешанные производные второго порядка:
Запишем полный дифференциал Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид: В данном случае: То есть, в формулу нужно
Пример 4 Найти частные производные первого порядка функции Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока. Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции. Пример 5 Найти частные производные первого порядка функции Решение: (1) Применяем правило дифференцирования сложной функции (2) Здесь используем свойство корней: Аналогично: Запишем полный дифференциал первого порядка: Пример 6 Найти частные производные первого порядка функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации. Пример 7 Найти частные производные первого порядка функции (1) Используем правило дифференцирования суммы (2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении 77 вопрос Составным числом называется натуральное число, которое имеет более двух делителей. Еще можно определить составное число, как число, которое не является простым и не равно 1.
Пример Задание. Указать, какие из перечисленных ниже чисел являются составными: Ответ.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|