Определенный интеграл Римана

Напомним, что множество точек отрезка [ a, b ] таких, что

a = x ₀ < x ₁ <... < < = b,

называется разбиением отрезка [ a, b ], a R, b R.
Точки x_k называются точками разбиения , отрезки [ x_k -1, x_k ] - отрезками разбиения ; их длины обозначаются x_k, т. е. x_k = x_k - x_k -1, k = 1, 2,..., , а число

| | max{ x ₁, x ₂,... }

называемся мелкостью разбиения .
Разбиение называется разбиением, вписанным в разбиение , если *, т. е. если каждая точка разбиения содержится в разбиении *. В этом случае каждый отрезок [ , ] разбиения содержится в некотором отрезке [ x_j -1, x_j ] разбиения , j = 1, 2,..., .
Разбиение *, вписанное в разбиение , называется также разбиением, следующим за разбиением , и пишут * . В этом случае говорят также, что разбиение предшествует разбиению *, и пишут *.
Существенными являются следующие два свойства разбиений отрезка.
1^o. Если ', а ' ", то ".
Действительно, если каждый отрезок разбиения " содержится в некотором отрезке разбиения ', а каждый отрезок разбиения ' содержится в некотором отрезке разбиения , то каждый отрезок разбиения " содержится в соответствующем отрезке разбиения .
2^o. Для любых разбиений ' и " существует такое разбиение , что ' и ".
В самом деле, таким разбиением является, например, разбиение, состоящее из всех точек обоих разбиений ' и ".
Пусть функция f определена на отрезке [ a, b ], a < b, и - некоторое разбиение этого отрезка. Всякая сумма вида

_k [ x_k -1, x_k ], k = 1, 2,..., ,

называется интегральной суммой Римана функции f.

Рис. 102

В случае если функция f неотрицательна, то интегральная сумма равна площади фигуры, составленной из прямоугольников с основанием [ x_k -1, x_k ] и высотой длины f ( _k) (рис. 102).
Определение 1. Функция f называется интегрируемой по Риману на отрезке [ a, b ], если для любой последовательности разбиений

, n = 1, 2,...,

отрезка [ a, b ], мелкость которых стремится к нулю: | _n | = 0, и для любого выбора точек , k = 1, 2,..., , последовательности интегральных сумм

, n = 1, 2,...,

имеют и притом один и тот же предел.
Этот предел называется интегралом Римана функции f по отрезку [ a, b ]. Его обозначают и пишут

= .

(23.1)

Согласно определению это означает, что если

, ,
k = 1, 2,..., ,

то

= ,

если только | _n | = 0.
Можно сформулировать определение интеграла Римана, и не используя понятия предела последовательности, а, как говорят, на "языке - ".
Определение 2. Число I называется интегралом Римана от функции f на отрезке [ a, b ], если для любого > 0 существует такое > 0, что, каково бы ни было разбиение отрезка [ a, b ], мелкость которого меньше : | | < , и каковы бы ни были точки _k [ x_k -1, x_k ], k = 1, 2,..., , выполняется неравенство

| - I | < .

Аналогично равносильности определений предела функции в терминах последовательностей и в терминах окрестностей доказывается и равносильность определений 1 и 2 интеграла Римана. Это рекомендуется читателю проделать самостоятельно.
В интеграле число a называется нижним, а число b - верхним пределом интегрирования. В дальнейшем для краткости вместо "функция, интегрируемая по Риману", будем говорить "интегрируемая функция", а вместо "интеграл Римана" - просто "интеграл". Дополним определение интеграла следующими соглашениями. Если функция f задана в точке x = a, то по определению = 0. Если функция f интегрируема на отрезке [ a, b ], то положим

.

Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x), вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

Если после изучения данного теоретического материала (Формула Ньютона-Лейбница) у Вас возникли проблемы при решении задач на данную тему или появились вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.

80 вопрос