Объемлющие эпюры. Как можно построить такие эпюры в балках

Расчетные сечения выбираются таким образом, чтобы составить полное представление о возможных пределах изменения усилий по длине балки. Обычно достаточно 3-5 сечений в каждом пролете. Графики изменения максимальных и минимальных усилий, которые строятся на одной оси, называют объемлющими или огибающими эпюрами. При заданной интенсивности временной нагрузки экстремальные усилия не выходят за пределы этой эпюры. Следовательно, если такая эпюра будет построена, то в каждом сечении балки мы будем знать расчетные рабочие усилия. Оценка прочности может быть проведена в зависимости от наличия базы предельных характеристик и по усилиям, и по напряжениям.

Таким образом, самой главной характеристикой распределения усилий рабочего состояния являются объемлющие эпюры, методику построения которых разберем ниже на примерах.

П р и м е р. Пусть на двухпролетную балку действует постоянная равномерно распределенная нагрузка (ее собственный вес) интенсивностью 1.0 кН/м и временная нагрузка (например, снеговая), максимальная интенсивность которой 10 кН/м. Требуется определить расчетные усилия по длине балки.

Р е ш е н и е. Кроме естественного загружения постоянной нагрузкой составим еще три загружения временной нагрузкой. Построим эпюры M и Q для каждого загружения в отдельности, то есть необходимо провести расчет заданной балки четыре раза. Методика такого построения разобрана выше. Поэтому здесь мы не приводим подробных вычислений, которые читатель может проделать самостоятельно.

На балке наметим одиннадцать расчетных сечений. В каждом из них определим M и Q. Предварительно для изгибающих моментов мы должны условиться о знаке. Изгибающий момент будем считать положительным, если он растягивает нижние волокна.

Выберем в каждом сечении возможное максимальное (положительное) и минимальное (отрицательное) значения.

При выборке следует учитывать, что постоянная нагрузка и усилия от нее не меняются в течение всего периода эксплуатации балки, меняются только временная нагрузка и усилия, ей соответствующие. Вследствие этого необходимо для получения максимального (минимального) изгибающего момента сложить все его значения от временной нагрузки с положительным (отрицательным) знаком и прибавить усилие от постоянной нагрузки независимо от знака. Например, в четвертом сечении для получения минимального момента необходимо M_п4 от постоянной нагрузки сложить со значениями изгибающих моментов в этом же сечении от временной нагрузки на левой консоли и во втором пролете (первое и третье загружения), которые соответственно равны M_вр1, M_{вр3 4}. Следовательно, M_min Максимальный изгибающий момент в четвертом сечении получится в том случае, когда временная нагрузка находится на первом пролете. При этом M_вр2 и M_max В девятом сечении:

M_{max 9}= M_{п 9} + M_{вр3 9}M_{min 9} =M_{п 9}

Подобным образом можно провести выборку по всем расчетным сечениям как изгибающих моментов, так и поперечных сил.На объемлющих эпюрах имеются две кривые, одна из которых ограничивает максимальные усилия, другая - минимальные. В процессе эксплуатации усилия в балке будут находиться между ними или, в крайнем случае, на самой кривой.

П р и м е р 10.14. Построить объемлющую эпюру изгибающих моментов и оценить прочность в третьем пролете главной балки бункерной эстакады, предназначенной для разгрузки железнодорожных вагонов. Балка неразрезная, пятипролетная, выполнена из двух двутавров № 40 и стали с предельным сопротивлением R. Собственный вес бункеров и оборудования интенсивностью 30 кН/м равномерно распределен вдоль балки. Максимальное давление от колес вагонов 150 кН сосредоточено на рельсах со стандартной шириной колеи. Предусмотреть все возможные варианты подачи вагонов под разгрузку

Р е ш е н и е. Расчет на постоянную нагрузку.

Построим эпюру изгибающих моментов M_п - от действия постоянной нагрузки q, равномерно распределенной по всей длине балки только для третьего пролета. В соответствии с процедурой расчета балок определим значения поперечных сил по концам пролета. Ввиду симметрии и балки, и постоянной нагрузки правая и левая поперечные силы одинаковы и равны половине равнодействующей нагрузки, приходящейся на пролет

Q_л = Qп = q×l /2

Определим значение изгибающих моментов от постоянной нагрузки в семи сечениях третьего пролета. из условий равновесия стержня загруженного распределенной нагрузкой, опорными моментами и поперечными силами по концам найдем значения моментов в намеченных сечениях. Опуская промежуточные вычисления, приведем окончательные их величины (кНм):

M₀ = M₆, M₁ = M₅,

M₂ = M₄, M₃.

Вычисление изгибающих моментов от временной нагрузки.

Будем загружать временной нагрузкой последовательно каждый пролет в отдельности (всего пять загружений). Нагрузка представляется двумя сосредоточенными силами. Эквивалентная распределенная нагрузка кН/м.

Для их определения вычислялись значения поперечных сил в сечениях 0 и 6 из условий равновесия среднего пролета, а затем определялись изгибающие моменты в сечениях 1 - 5. При загружении временной нагрузкой третьего пролета, например, были проведены следующие вычисления поперечных сил (кН):

Sm₀ ® Q_п = 150,

Sm₆ ® Q_л = 150.

и изгибающих моментов (кНм):

M₁ M₂ M₃ M₄ M₅

Определение значений ординат объемлющей эпюры изгибающих моментов.

При определении максимальных значений изгибающих моментов (M_max) к величине M_п прибавляются значения M_{вр i} от временной нагрузки со знаком “плюс”, при определении минимальных (M_min) - со знаком “минус”.

Проверка прочности балки. По объемлющей эпюре моментов установим величину наибольшего момента, возникающего в поперечном сечении балки от наиневыгоднейшего загружения последней (действие постоянной и временной нагрузки одновременно). Он находится в опорном сечении и равен M₀ = M₆. Он возникает в том случае, когда загружены временной нагрузкой второй, третий и пятый пролеты одновременно. По сортаменту значение момента сопротивления для заданного двутавра W₁. Момент сопротивления двух поставленных рядом двутавров равен W

Напряжение в крайних волокнах балки

s = M/< R_пр