Подбор функции (закона) распределения случайной величины.

Для изучения закона распределения случайной величины Х (экспериментальные данные) полезно построить гистограмму относительных частот. Наглядность отображения гистограммой закона распределения вероятности зависит от соблюдения следующих правил при ее построении:

4)интервалы х, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми;

5)число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими рекомендациями:

6)масштаб выбирать таким, чтобы высота гистограммы относилась к основанию примерно, как 5 к 8.

Вся область изменения экспериментальных данных разбивается на интервалы, оптимальная длина которых:

или ,

а начальная точка отсчета:

.

Заметим, что в большинстве случаев все значения Х должны быть положительны (распределение Вейбулла, логарифмически нормальное распределение и др.), поэтому в таких случаях, если х₀<0, принимают х₀=0.

Предположим, что случайная величина распределена по нормальному закону распределения с параметрами и . Гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х проверим по критерию согласия Пирсона. Результаты вычислений занесем в табл. 3.

Для заполнения табл. 3 в столбец 2 занесем из табл. 2 (нашего примера) граничные значения интервалов x_i; затем заполняем столбец 3 по формуле , где -начальная граница интервала. Следующий столбец нахождение значения функции Лапласа по данным таблицы «Значения функции Лапласа Ф(х)», используя при необходимости линейное интерполирование. Считаем при x ₀= –¥ и x ₉= +¥. Теоретическую вероятность (столбец 5) находим по формуле p_i=F(x _i+1)-F(x _i) и записываем результаты между строк столбца 4. Затем вычисляем и выписываем (количество попаданий в i-й интервал) из табл. 2 нашего примера (табл. 3).

Таблица 3

Проверка гипотезы о нормальном распределении величины Х

i	Границы интервалов			pi
	72,99-73,46 73,46-73,93 73,93-74,40 74,40-74,87 74,87-75,34 75,34-75,81 75,81-76,28 76,28-76,75 76,75-77,22	- -2,26 -1,58 -0,90 -0,23 0,45 1,12 1,79 2,47 +	-0,5000 -0,4881 -0,4429 -0,3159 -0,0910 0,1736 0,3686 0.4633 0,4931 0,5000	0,0119 0,0452 0,1270 0,2249 0,2646 0,1950 0,0947 0,0298 0,0069	1,1067 4,2036 11,8110 20,9157 24,6078 18,1350 8,8071 2,7714 0,6417

Исходя из наших данных для x ₁ отношение -2,26. Таким образом, в соответствии с таблицей «Значения функции Лапласа Ф(х)», значение:

y = =-0,4881. Если отношение не имеет конкретного значения в таблице, а находится в интервале между приведенными в таблице значениями, тогда используем метод линейной интерполяции.

Для расчета значения требуется провести линейную интерполяцию с использованием данных таблицы «Значения функции Лапласа Ф(х)»,. Например пусть некоторая функция y=y(x) представляет из себя таблицу, где х_i– значение аргумента, y_i – соответствующее значение функции. Требуется найти значение функции для аргумента х₁<x<x₂ по данным значения y₁<y<y₂ или наоборот по данному у найти х. Предположим, что на участке (х₁, х₂) график функции имеет линейную зависимость, тогда уравнение прямой будет иметь вид . Поскольку отрезок [x₁,x₂] мал, то в точке х ордината у(х) мало отличается от ординаты прямой. Из уравнения прямой находим неизвестное х или у.

Дальше рассчитываем р _i=0,5000-0,4881=0,01195. По формуле определяем =93·0,4922=0,7254.Аналогично проводим расчеты по всем данным, заполняем таблицу 3. Примечание. Первое значение в таблице записываем (– 0,5000), а последнее (+0,5000).

Для расчета критерия Пирсона объединим первые и последние два интервала (читай теорию). Используя данные табл.3, рассчитаем критерий согласия Пирсона . Число интервалов определяется с учетом того, что число попаданий (частота) в один интервал не должно быть меньше 5, в ином случае его нужно объединить с соседним интервалом/ интервалами, таким образом, чтобы указанное условие было соблюдено. В нашем случае число интервалов К =8. Для расчета числа степеней свободы необходимо знать число параметров рассматриваемого закона распределения r. Для нормального закона распределения мы имеем два параметра – математическое ожидание (среднее арифметическое выборки) и дисперсию вариационного ряда (стандартное отклонение). Таким образом, число параметров, для которых были найдены оценки, r =2. Число степеней свободы f = К – r –1=8–2–1=5. Так как есть мера суммарного отклонения между моделью (теоретическим распределением) и экспериментальным распределением, сравним рассчитанное значение с теоретическим (табличным). Используя данные таблицы «Квантили , удовлетворяющие условию », находим, что рассчитанное значение находится в интервале15,1< =16,38<16,7. По этой же таблице определяем вероятность согласования выдвинутой нами гипотезы о нормальном распределении с истинным распределением. Значению =15,1 соответствует q=0.99, а значению =16,7 соответствует q=0.995. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении не согласуется с истинным распределением с вероятностью 99–99,5%.

На полученной гистограмме относительных частот (рис.2 нашего примера) максимум находиться на середине интервала [72,99;77,22], поэтому рассмотрим предположение о наличии логарифмически нормального распределения.

Выдвинем и проверим гипотезу о логарифмическом нормальном распределении. Оценим параметры этого распределения по формулам. Находим, что:

Тогда предполагаемая функция плотности вероятностей имеет вид:

Сделаем проверку гипотезы о логарифмически нормальном распределении по критерию согласия Пирсона по таблице «Квантили , удовлетворяющие условию (табл. 4):

»:

Таблица 4