Функции законов распределения
Нормальный закон распределения занимает особое место среди других законов распределения измеряемых величин, рассматриваемых как случайные величины, и является предельным. К нему при некоторых ограничениях сходится сумма большого числа независимых случайных величин, подчиненных любым законам распределения, при условии, что каждая из величин в сумме не имеет превалирующего влияния. Реальные законы распределения результатов и погрешностей измерений часто отличаются от нормального, особенно после эксплуатации средств измерений свыше 3…5 лет, когда сказываются процессы старения в узлах и элементах средств измерений. Поэтому при выполнении точных измерений всегда целесообразно изучить реальную форму закона распределения результатов измерений и учитывать его свойства при обработке этих результатов. Поскольку погрешности искажают эмпирический закон распределения вероятности результата измерений, постольку проверка предположения о его нормальности производится после исключения погрешностей (грубых и систематических – определяемых и исключаемых, исходя из возможностей). Нормальный закон распределения величины Х представляется плотностью распределения
где: mx – математическое ожидание величины Х; В отношении описания случайных погрешностей измерений данная функция обозначается f (
Графики дифференциальных функций распределения (рис. 4) называют также кривыми распределения, в ряде случаев они имеют колоколообразную форму и обладают максимумом при х=х ист или
Под интегральной функцией распределения результатов измерений (рис. 5) понимают вероятность того, что результат измерения Х в i-м опыте окажется меньше некоторого текущего значения х, т.е.
Рис. 5. Интегральная функция распределения результатов измерений
Случайную погрешность рассматривают как случайную величину, принимающую различные значения
При переходе от дифференциальной функции распределения к интегральной путем интегрирования получают
Предполагая в соответствии с теорией вероятностей, что
т.е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице. При проведении измерения вероятность попадания результата измерения Х или случайной погрешности
или в обозначениях дифференциальной функции распределения:
Таким образом, вероятность попадания результата измерения или случайной погрешности в заданный интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала (заштрихованная площадь на рис 3.6.1.1). Произведения f(x) d(x) и f(
Результаты измерений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного (действительного) значения измеряемой величины, и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Характеристикой центра группирования случайной величины является математическое ожидание. Математическое ожидание (М(Х) или М( Для оценки свойств законов распределения и полной характеристики распределения результата измерения Х или погрешности измерения Центральные моменты характеризуют случайную величину (погрешность) за вычетом систематической составляющей, т.е. они становится центрированными. Таким образом, случайная составляющая погрешности измерения – это центрированная величина. Часто применяется центральный момент второго порядка, который получил наименование дисперсии. Дисперсия характеризует рассеяние случайной величины относительно ее математического ожидания. В практических задачах рассеяние чаще характеризуют средним квадратическим отклонением
Для более подробного описания распределения используют моменты более высоких порядков. Центральные и начальные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов измерений, так как математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|