 |
Точечная оценка параметров некоторых законов распределения
|
|
|
|
Случайных величин
Точечные или статистические оценки параметров теоретического распределения называют некоторую функцию от наблюдаемых значений случайной величины, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра.
Закон распределения характеризует всю генеральную совокупность, то есть совокупность всех возможных значений случайной величины. Оценка параметров делается по данным выборки. Если имеется несколько выборок одной и той же совокупности, то оценки некоторого параметра, найденные для каждой из них, вообще говоря, различны. Но все они должны быть: 1) несмещенными (математическое ожидание таких выборочных оценок должно быть равно точному значению параметра); 2) эффективными (при заданном объеме выборки n оценка параметра имеет наименьшую дисперсию); 3) состоятельными (при n®+¥ оценка параметра по вероятности должна стремиться к точному значению параметра).
Далее рассмотрим три вида распределения, наиболее часто встречающихся при изучении различных величин в строительном производстве. Например, такие величины, как прочность бетона, производительность труда, собственная масса строительных конструкций имеют нормальное распределение. Здесь отклонения от среднего в обе стороны равновероятны. Если большинство результатов измерений отклонено в меньшую сторону, то величина может быть логарифмически распределена (толщина стены по высоте при возведении монолитных сооружений в скользящей опалубке). Такие показатели, как толщина плит перекрытий, перерывы в работе из-за отсутствия строительных материалов, сроки выполнения работ и другие хорошо описываются кривой распределения Вейбулла.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ имеет функцию плотности вероятности:
|
|
|
 ,
| (54) |
где: m – математическое ожидание; s – среднее квадратичное отклонение случайной величины Х. Их точечные оценки 
и 
находятся по формулам (55) и (56).
Если данные выборки уже сгруппированы по интервалам, то эти формулы преобразуются к виду:
 ,
| (55) |
 ,
| (56) |
где: n – объем выборки; xi – значение случайной величины Х из i-ого интервала; ni – частота xi1.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ описывает случайную величину Х, логарифмы которой распределены по нормальному закону с параметрами 
и 
.
Плотность распределения логарифмически нормальной случайной величины Х имеет вид:
| (57) |
для х>0 и f(x)=0 – для остальных Х.
Статистические (точечные) оценки параметров 
и 
получены по методу моментов:
 ,
| (58) |
 ,
| (59) |
где 
и 
вычислены по формулам (6) и (56).
РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕЙБУЛЛА для 
соответствует функция плотности вероятности
 .
| (60) |
Если 
, то полагают f(x)=0. По параметрам a и b следует найти статистическую (эмпирическую) функцию распределения случайной величины Х, все значения которой сгруппированы по интервалам.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция
 ,
| (61) |
определяющая относительную частоту того, что Х<х. В формуле (61) nx– число значений xi<x; n – объем выборки, то есть, используя данные разбивки на интервалы, находим:
| (62) |
Оценки параметров a и b получаются лучше, если в качестве «представителей» интервалов взять их левые концы.
Интегральная функция распределения закона Вейбулла имеет вид:
 .
| (63) |
Рассмотрим два уравнения (по числу неизвестных параметров):
 и  ,
| (64) |
где: p1 и p2 – некоторые вероятности, причем p1+p2=1. Квантили, соответствующие вероятностям p1 и p2, обозначим соответственно х1 и х2, то есть x p1=p1 и x p2=p2.
Принимая, что F() 
, получим:
 и. 
| (65) |
Из системы (65) находим значения х1 и х2, используя значения функции (62) и линейное интерполирование[1], затем возвращаемся к уравнению (64). Получим
|
|
|
 и 
| (66) |
Из формулы (24) получаем точечные оценки параметров a и b:
 или  ,
| (67) |
 или  .
| (68) |
|
|
|
