Усреднение. Моменты случайной величины
Например, простейший «первый» момент – «математическое ожидание» Среднее значение сигнала при осреднении по ансамблю в момент t1 определяется по формуле
При осреднении данной k- й реализации во времени среднее значение
Рис. 6.16. К определению плотности распределения случайного сигнала
Среднее значение сигнала характеризует его постоянную составляющую. Среднее значение стационарного сигнала равно постоянной величине, а стационарного и эргодического сигнала, найденное путем временного осреднения одной реализации — среднему значению по ансамблю реализаций. Среднее значение квадрата сигнала характеризует суммарную интенсивность данной реализации:
Среднее квадратическое значение сигнала равно корню квадратному из среднего значения квадрата: Центральные моменты Например, второй центральный момент –«дисперсия» С. к. о. сигнала (для стационарных и эргодических процессов?)
Стационарный и эргодический случайный сигнал удобно характеризовать двумя составляющими: постоянной и переменной. Первая равна среднему значению сигнала
Преобразуя уравнение (6.56), получим
Следовательно, дисперсия стационарного и эргодического сигнала равна разности между средним значением квадрата и квадратом среднего значения и характеризуется постоянным числом. С. к. о. сигнала
Функция распределения, или интегральный закон распределения, Р(X<x1) равна вероятности того, что сигнал X(t) не превосходит заданного значения:
Вероятность того, что Рис. Функция распределения Вероятность нахождения сигнала в интервале между значениями x1 и х2
Плотность распределения случайного сигнала, или дифференциальный закон распределения р(х) характеризует вероятность того, что мгновенные значения сигнала в произвольный момент времени будут находиться в заданном интервале значений. Рассматривая реализацию случайного сигнала X(t) (рис. 6.16), вероятность нахождения сигнала в интервале значений х и х + ∆ можно определить, вычисляя отношение где Одномерная плотность распределения сигнала
ПРВ есть производная от функции распределения.
Свойства: p(x)>0 Одномерная плотность распределения р(х) не содержит координаты времени и не отражает статистической зависимости значений сигнала при изменении времени. Плотность распределения сигнала — действительная неотрицательная функция и для стационарного эргодического сигнала может быть определена по одной реализации. Через плотность распределения удобно выражается среднее значение случайного сигнала и среднее значение его квадрата Функция распределения, или интегральный закон распределения, для стационарного и эргодического сигнала также может быть определена по одной его достаточно протяженной во времени реализации.
Рис. 6.17. Примеры сигналов и графики плотностей распределения: а — гармонического, б — суммы гармонического и случайного, в — узкополосного случайного шума, г — широкополосного случайного шума.
Плотность распределения и функция распределения являются весьма важными характеристиками случайного сигнала и измеряются статистическими анализаторами. По известной плотности распределения можно определить другие важные параметры случайного сигнала — функцию распределения, вероятность нахождения сигнала в заданном интервале и др. Кроме этого, характер плотности распределения дает возможность установить структуру сигнала, например наличие в нем гармонической составляющей. Покажем это на примере сравнения реализаций и плотностей распределения четырех сигналов: гармонического (рис. 6.17, и), суммы гармонического и случайного (рис. 6.17, б), узкополосного (рис. 6.17, в) и широкополосного (рис. 6.17, г) случайных шумов. Гармонический сигнал в данном случае рассматривается как случайный, поскольку предполагается, что фаза его является случайной величиной. Плотность распределения гармонического сигнала (рис. 6.17, а, б) со случайной фазой представляется чашеобразной симметричной кривой, а случайных сигналов (рис. 6.17, в) и (рис. 6.17, г) чаще всего подчиняется закону Гаусса (п. 4.2) и имеет куполообразную симметричную форму. Сумма гармонического и случайного сигналов имеет характерные особенности плотностей распределения их обоих — как гармонического, так и случайного сигналов — это иногда дает возможность по виду плотности распределения определить состав данного исследуемого сигнала. Функциональный анализ При решении задач обработки сигналов возникают следующие вопросы: -как оценить сходство сигналов, -как оценить состав сложного сигнала, Векторное представление сигналов бесконечномерном пространстве Математический раздел «Функциональный анализ» использует модель сигнала как вектора в специальном бесконечномерном пространстве. Приведенные далее системы аксиом не являются исчерпывающе полными, но достаточными для понимания следующих разделов. В некоторых случаях вывод показан на основе качественных представлений.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|