Теорема о дискретном равномерном представлении непрерывного сигнала
Математически процесс определения значения сигнала в указанной точке описывается следующим выражением т.к. называемое фильтрующее свойство дельта-функции. Аппаратно реализуется устройством выборки хранения (УВХ) аналого-цифрового преобразователя (АЦП).
Рисунок УВХ Базовая операция для превращения непрерывного сигнала в дискретную форму - дискретизация. Результатом процесса дискретизации является сигнал с амплитудно-импульсной модуляцией.
Рисунок Представление сигнала в дискретной форме – АИМ
Такое название возникло потому, что выходной сигнал УВХ можно описать как последовательность импульсов с амплитудами сигнала в момент выборок.
Исходный непрерывный сигнал можно восстановить из АИМ путем прохождения последнего через восстанавливающий фильтр, при определенных ограничениях, которые формулируются в теореме о равномерном дискретном представлении (теорема Шеннона-Котельникова, критерий Найквиста).
Сигнал с ограниченной полосой, не имеющий спектральных составляющих с частотами, которые превышают иначе
Это утверждение доказывается строго, но вначале его можно пояснить простым примером
Рисунок Критерий выбора частоты дискретизации с учетом эффекта наложения Практический критерий
Компактный \ некомпактный спектр.
Для любого ограниченного во времени сигнала, спектр неограничен (хотя может быть весьма мал выше
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ДИСКРЕТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ (Столлингс) Теорему о дискретном представлении можно сформулировать следующим образом. Если x(t) — сигнал с ограниченной полосой fh, p(t) — выборочный сигнал, состоящий из импульсов, взятых через интервал xs(t) = x(t)p(t) — дискретный сигнал, то сигнал x(t) можно восстановить непосредственно из сигнала xs(t) тогда и только тогда, когда fs>2fh.
Доказательство Поскольку сигнал p(t) состоит из равномерной последовательности импульсов, то он является периодическим сигналом и может быть представлен в виде ряда Фурье: Получаем Рассмотрим теперь Фурье-образ функции Подставляя выражение для После упрощения получаем Исходя из определения преобразования Фурье, можем записать следующее:
где Подставив это в предыдущую формулу, получим
Последняя формула имеет интересную интерпретацию, представленную на рис. 6.22, где мы предполагали, не нарушая общности, что полоса сигнала x(t) лежит в диапазоне от 0 до fh. Спектр сигнала xs(t) состоит из спектра сигнала x(t) и спектра, который получается из спектра сигнала x(t) при переносе каждой гармоники на несущую частоту. Каждый из перенесенных спектров умножается на соответствующий коэффициент ряда Фурье для p(t). Рис. 6.22. Иллюстрация к теореме о дискретном представлении(дорисовать спектр периодически повторяющихся дельта функций) Если fs > 2fh, то эти перенесенные спектры не перекрываются, а спектр сигнала x(t) умножается на коэффициент Р0, входящий в Xs(f). Восстановление спектра исходного сигнала x(t) произойдет при передаче сигнала
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|