Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

Количественный показатель степени сходства сигналов s(t) и u(t) - функция взаимных корреляционных коэффициентов:

r_su(t) = B_su(t)/ = B_su(t) /(||s(t)|| ||u(t)||).

Интервал изменения значений функций при сдвигах t_i может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах t_I, на которых наблюдаются нулевые значения r_su(t_i), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны).

Свойства ВКФ

1. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам. При этом:

|B_su(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||, ,

где Е₁ и E₂ — энергии сигналов s₁(t) и s₂(t).

2. При замене переменной t = t-t, получаем:

B_su(t) = s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = B_us(-t).

, то есть изменение знака τ равносильно взаимной перестановке сигналов, отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B_su(t) ¹ B_su(-t).

С учетом нечетности, графическое представление ВКФ производится, и для отрицательных, и для положительных значений t.

3. Значение ВКФ при τ=0 ничем не выделяется; максимум может быть расположен в любом месте оси τ.

Рис. Сигналы и ВКФ

Это можно наглядно видеть на рис., где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)). При t=0 сигналы ортогональны и значение B₁₂(t)=0. Максимум В₁₂(t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t).

4. С ростом абсолютного значения τ ВКФ сигналов с конечной энергией затухает:

5. Если сигналы s₁(t) и s₂(t) не содержат особенностей в виде дельта-функций, то ВКФ не может иметь разрывов (то есть обязана быть непрерывной функцией).

6. Если сигналы — напряжение, то размерность их ВКФ равна В² с.

 

Примеры ВКФ:

Комбинации по парам функций: гармоническая, импульсная, импульсная с гармоническим заполнением, случайная.

 

На рис. приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией B_su. Вместе с тем функция B_su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) при симметричной форме s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B_sv на рисунке. Если поменять местами выражения функций в (8.2.1), то новая функция B_vs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией B_sv.

Рис. Взаимноковариационные функции сигналов

 

 

Взаимная корреляционная функция двух сигналов X (t) и Y (f) характеризует общую статистическую зависимость их значений и для эргодических сигналов определяется по следующей формуле:

(6.70)

т. е. равна среднему значению произведения мгновенных значений сигналов X(t) и Y(t), сдвинутых во времени на интервал τ.

Если , то, следовательно, сигналы X(t) и Y(t) некоррелированы между собой. При этом должно быть равно нулю среднее значение одного из сигналов X(t) или Y(t).

Абсолютное значение Rxy (т) ограничивается двумя неравенствами:

(6.71)

. (6-72)

Взаимная корреляционная функция применяется для определения взаимных временных характеристик и параметров исследуемых сигналов, например для измерения времени задержки. На взаимокорреляционной функции входного и выходного сигналов исследуемого линейного звена в момент, когда τ равно времени задержки, появляется пик. Взаимная автокорреляционная функция применяется также для обнаружения сигнала в шуме и определения его автокорреляционной функции и др.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: