Производные высших порядков

Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй производной и обозначают f⁽²⁾(x), f''(x) или y⁽²⁾, y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй, третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y (n) = (y (n- 1)) '.

(3)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (3).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u (x) v (x))⁽ⁿ⁾ = u ⁽ⁿ⁾ v+nu ^{(n- 1)} v'+ (n (n- 1) / 2) u ^{(n- 2)} v''+...+ uv ⁽ⁿ⁾ =

= S _{k = 0} ⁿC_n^ku ^(n-k) v ^(k),

где

C_n^k = (n (n- 1)(n- 2)...(n-k+ 1)) /k!, u ⁽⁰⁾ = u, v ⁽⁰⁾ = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = e^x (x ²-1). Найти y ⁽¹⁰⁾. Положим u (x) = e ^x,
v (x) = (x ²-1). Согласно формуле Лейбница

y ⁽¹⁰⁾ = (e^x)⁽²⁵⁾(x ²-1)+10(e^x)⁽⁹⁾(x ²-1) '+ (10 · 9 / 2) (e^x)⁽⁸⁾(x ²-1) '',

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y ⁽¹⁰⁾ = e^x (x ²-1)+10 e^x 2 x+ (10 · 9 / 2) e^x (2) = e^x (x ²+20 x+ 89)

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x→ a, если

lim _{x → a} f (x) = lim _{x → a} g (x) = 0.

Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел
lim_{x→ a}f(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x→ a-0 (x→a+0), x→±∞.

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть множество (a) - проколотая δ - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x) ≠ 0,

lim _{x → a} f (x) = lim _{x → a} g (x) = 0.

Тогда если существует lim _{x → a} f'(x)/g'(x), то существует и предел lim _{x → a} f(x)/g(x), причем справедливо соотношение

lim _{x → a} f (x) /g (x) = lim _{x → a} f' (x) /g' (x).

Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида ∞/∞

Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x_→ ∞. Попробуем применить правило Лопиталя

lim _{x →}∞ (x+ sin x) / (x- sin x) = ∞ / ∞= =lim _{x →} ∞ (x+ sin x) '/ (x- sin x) ' = lim _{x →} ∞ (1+cos x) / (1-cos x),

но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:

lim _{x →} ∞ (x+ sin x) / (x- sin x) = lim _{x →}∞ (1+sin x/x) / (1-sin x/x) = 1

Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.

Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞ часто встречаются неопределенности видов: 0· ∞, ∞-∞, 1^∞, 0^∞, ∞⁰. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1∞, 0∞, ∞⁰. Каждая из этих неопределенностей имеет вид

y = f (x) g (x),

(4)

где lim_{x→ a}f(x) = 1;0; ∞, lim_{x→ a}g(x) = ∞;0, Прологарифмировав выражение (4), получим (при f(x)>0)

ln y = g (x)ln f (x).

Последнее выражение представляет собой при x_→ a неопределенность вида 0· ∞. Покажем, как свести неопределенность вида 0· ∞ к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞

Пусть y = f(x)g(x), где lim_{x→ a}f(x) = 0, а lim_{x→ a}g(x) = Ґ. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x_→ a неопределенность вида 0/0.

Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.

Пример 1. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:

1. lim_x→0(e^ax-e^-2ax)/ln (1+x) = 0/0= lim_{x→ 0}(ae^ax+2ae^-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.

2. lim _{x →}∞(e ^{1 /x 2} - 1) / (2 arctg x ²-p) = 0 / 0= lim _{x →} ∞(-2 x^{- 3} e ^{1 /x 2}) / (4 x/ (1 +x ⁴)) = lim _{x →} ∞ -e ^{1 /x 2}(1 +x ⁴) / 2 x ⁴ = -1 / 2.

3. lim_{x→ 1}(1/ln x-1/(x-1)) = ∞-∞ = lim_{x→ 1} (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = lim_{x→ 1}(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = lim_{x→ 1}(x-1)/(xln x+x-1) = lim_{x→ 1}1/(ln x+2) = 1/2.

4. lim_{x→ +0}(1/x)^{sin x}. Пусть y = (1/x)^{sin x}, тогда ln y = sin xln (1/x),

lim _{x →+0}ln y = lim lim _{x → +0}sin x ln (1 /x). lim _{x → +0}ln y = lim _{x → +0}(-ln x) / (1 / sin x) = lim _{x → +0}(-1 /x) / (-cos x/ sin² x) = lim _{x → +0} sin² x/ (x cos x) = 0.

Следовательно, lim_{x→ 0} y = e⁰ = 1.

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение ∆y ее представимо в виде

∆ y = f' (x)∆ x + ά(∆ x) ∆ x,

где первое слагаемое линейно относительно ∆x, а второе является в точке ∆x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем ∆x. Если f'(x)≠ 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения ∆y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента ∆x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Определение 1 (дифференциал). Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно ∆x часть приращения ∆y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f' (x)∆ x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = ∆ x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f' (x) dx.

(5)

Геометрический смысл

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M (x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtg f = ∆ xtg f = f' (x) ∆ x,

то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение ∆ x.

Свойства дифференциала

1. d c = 0;

2. d(c u (x)) = c d u (x);

3. d(u (x) ± v (x)) = d u(x) ± d v (x);

4. d(u (x) v (x)) = v (x) d u (x) + u (x)d v(x);

5. d(u (x) / v (x)) = (v (x) d u (x) - u (x) d v (x)) / v ²(x).

Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = φ(x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(φ(x)). Если каждая из функций f и φ являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме, равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции

dy = f' (x) dx = f' (u) u'dx = f' (u) du,

так как u'dx = du. То есть

dy = f' (u) du.

(6)

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

Замечание. Отметим, что в формуле (5) dx = ∆ x, а в формуле (6) du является лишь линейной частью приращения функции u.

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

dy = f' (x) dx.

Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: