Нормальный закон распределения результатов измерений
Многие ряды распределения, встречающиеся в статистических наблюдениях, можно охарактеризовать формулами разных математических функций. Функции или законы распределения случайных величин бывают: биноминальное, геометрическое, равномерное, нормальное и др. Самым важным в статистике является нормальное распределение. Нормальное распределение – это совокупность объектов, в которой крайние значения некоторого признака – наименьшее и наибольшее – появляются редко; чем ближе значение признака к среднему значению, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному. Нормальный закон (закон Гаусса) распределения результатов измерений непрерывных величин наиболее часто встречается и в спортивной практике. Нормальное распределение описывается формулой, впервые предложенной английским математиком Муавром в 1733 году:
где p и e – математические константы (p = 3,141; e = 2,718); Плотность распределения – это количество признака в единице интервала. Формула (5.1) позволяет получить в виде графика кривую нормального распределения (рисунок 5.1), которая симметрична относительно центра группирования (как правило, это значение среднего арифметического
Рисунок 5.1 – Кривая нормального распределения Эта кривая может быть получена из полигона распределения при бесконечно большом числе наблюдений и интервалов (см. рисунок 2.1 II этапа игры). Чтобы избежать неудобств, связанных с расчётами для каждого конкретного случая по достаточно сложной формуле (5.1), используют так называемое нормированное (или стандартное) нормальное распределение, для которого составлены подробные таблицы.
Нормированное нормальное распределение имеет параметры
Плотность распределения вероятностей нормированного нормального распределения записывается в виде:
Рисунок 5.2 – Кривая нормированного распределения
4. Основные свойства кривой нормального распределения (рисунок 5.1) 1. Кривая симметрична относительно среднего арифметического (моды, медианы). 2. При x = 3. При 4. Площадь, заключенная между кривой f(x) и осью x, равна единице. 5. Кривая имеет две точки перегиба при
5. Влияние 1. Изменение среднего арифметического значения не меняет форму кривой, а приводит лишь к сдвигу кривой вдоль оси X:
Рисунок 5.3 – Влияние 2. С увеличением s максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, при уменьшении s кривая становится более островершинной. При любых значениях В результате спортивной тренировки средняя арифметическая
Рисунок 5.4 – Влияние s на вид кривой нормального распределения 6. Вероятности попадания в области
Рисунок 5.5 – Вероятность попадания результатов, составляющих нормально распределенную выборку, на заданный участок кривой: 68,27 % всех результатов попадает на участок от 95,45 % всех результатов попадает на участок от 99,73 % всех результатов попадает на участок от Правило трех сигм заключается в том, что практически все результаты, составляющие нормально распределенную выборку, находятся в пределах Это правило можно использовать при решении следующих важных задач: 1. Оценки нормальности распределения выборочных данных. Если результаты находятся примерно в пределах 2. Выявление ошибочно полученных результатов. Если отдельные результаты отклоняются от среднего арифметического значения на величины, значительно превосходящие 3 s, нужно проверить правильность полученных величин. Часто такие «выскакивающие» результаты могут появиться в результате неисправности прибора, ошибки в измерении и расчетах. 3. Оценка величины s. Если размах варьирования R = Xmax – Xmin, разделить на 6, то мы получим грубо приближенное значение s. Задавшись процентом попаданий P%, можно найти область Таблица 5.1 – Процентные точки нормированного нормального распределения
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|