Итерационные методы решения систем линейных уравнений.

 

Простейшим итерационным методом решения СЛАУ является метод простой итерации. При этом система уравнений (1) преобразуется к виду (2), а ее решение находится как предел последовательности (3), где {n} – номер итерации. Утверждается, что всякая система (2), эквивалентная (1), записывается в виде .

Теорема о достаточном условии сходимости метода простой итерации утверждает, что если норма матрицы (), то система уравнений (2) имеет единственное решение и итерационный процесс (3) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии.

Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости метода простой итерации: Пусть система (2) имеет единственное решение. Итерационный процесс (3) сходится к решению системы (2) при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы по модулю меньше 1.

На практике для обеспечения сходимости итерационных методов необходимо, чтобы значения диагональных элементов матрицы СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по сравнению с другими элементами.

Представим СЛАУ в следующей форме, удовлетворяющей (3):

(4)

Зададим начальные приближения и вычислим правую часть (4), получим новые приближения , которые опять подставим в систему (4). Таким образом организуется итерационный процесс, который обрывается по условию , где – заданная погрешность.

К ускорению сходимости приводит использование приближения к решениям путем последовательного уточнения компонентов, причем k -я неизвестная находится из k -го уравнения. Такая модификация итерационного метода носит название метода Зейделя:

Критерий сходимости метода Зейделя: Пусть ­– вещественная симметричная положительно определенная матрица. Тогда метод Зейделя сходится.

Достоинствами метода простых итераций является простота программной реализации и более быстрый, по сравнению с линейными методами, поиск решения в матрицах большого размера. Недостатками являются сложный контроль условий сходимости и выбора начального приближения.

 

Интерполирование функций.

1) Необходимость: приблизить f(x) более простой функцией ф(х), совпадающей в узлах x_i с f(x_i), если f(x) определена только в узловых точках (результат эксперимента) или очень сложно вычисляется.

Условия Лагранжа: ф(х, с₀, с₁…с_n) = f_i,

0 < _{_}i < n, где с_i - свободные параметры, определяемые из данной системы уравнений.

С помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа: дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов, решение дифференцированных и т. д. Термин интерполяция употребляют, если х заключено между узлами, если он выходит за крайний узел, говорят об экстраполяции (при которой трудно гарантировать надежность

приближения).

2) Пусть ф (х) = с₀ + с₁х + с₂х² +…+ с_nxⁿ (канонический вид полинома);сетка узлов может быть неравномерной.

Коэффициенты с_i определяются из условий Лагранжа:

Получившаяся СЛАУ относительно свободных

параметров с_i имеет решение, если среди узлов

х_i нет совпадающих.Ее определитель – определитель Вандермонда:

 

 

Общая блок-схема:

 

3) Пусть задано n+1 значение функции f(x) в узлах x_j

ф(х) = P_n(х) = _i (x-x_j)/(x_i-x_j) - полином Лагранжа.

Преимущества: потребуется решать СЛАУ для определения значения полинома в точке х.

Недостатки: для каждого х полином требуется читать заново.

Погрешность формулы: (*)

Увеличение числа узлов и, соответственно, степени полинома P_n(x) ведет к увеличению погрешности из-за роста производных .

4) ф(х) = P_n(x) = A₀+A₁(x-x₀)+A₂(x-x₀)(x-x₁)+…+A_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) - многочлен Ньютона для n+1 узла.

Коэффициенты Ф представляют собой разделенные разности и записываются в виде:

А₀ = f₀

A₁ = (f₀-f₁)/(x₀-x₁) = f₀₁

A₂ = (f₀₁-f₀₂)/(x₁-x₂) = f₀₁₂, где f₀₂ = (f₀-f₂)/(x₀-x₂)

A₃ = (f₀₁₂-f₀₁₃)/(x₂-x₃) = f₀₁₂₃, где f₀₁₃ = (f₀₁-f₀₃)/(x₁-x₃), а f₀₃ = (f₀-f₃)/(x₀-x₃)

и в общем случае A_k = (f_01…k-1-f_01…k)/(x_k-1-x_k)

Т.е. многочлен n-й степени выражается при помощи разделенных разностей через свои значения в узлах.

Преимущества: не решается СЛАУ, однако вычисление коэффициентов полинома не зависит от значения х и может быть вычислено только один раз. При добавлении нового узла также не происходит пересчета коэффициентов, кроме последнего.

После определения коэффициентов полинома Ньютона вычисление его значений при конкретных аргументах х наиболее экономично проводить по схеме Горнера:

P₂(x) = A₀+ (x-x₀)(A₁+(x-x₂)(A₃+…)…)

Погрешность определяется тем же соотношением (*)

Входящая в состав погрешности величина

(х-х_i) = w_n(x) ведет себя при постоянном шаге так, как показано на рисунке. Многочлен Ньютона имеет погрешность 0(hⁿ⁺¹) и обеспечивает n+1-й порядок точности интерполяции.

 

! Между разделенными разностями и производными соответствующих порядков существует соотношение f ^<n>(x) ~ n! F_01…n, где n – степень производной. Это используется в численном дифференцировании и при оценке погрешностей интерполяции.

! Можно строить полиномы, не только проходящие через заданные точки, но и имеющие в них заданные касательные (интерполяционный многочлен Эрмита) или заданную кривизну. Количество всех полагаемых условий должно быть n-1, если n – степень полинома.

Основной недостаток интерполирования с помощью многочленов – неустранимые колебания, которые претерпевает кривая в промежутках между узлами.

 

При этом повышение степени интерполяционного полинома для большинства решаемых уравнений приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности.

 

Интерполяция сплайнами.

 

Происхождение термина “сплайны” связано с гибкой чертежной линейкой, которой пользовались для рисования гладких кривых, проходящих через заданные точки. Из теории упругости следует, что получающаяся кривая имеет постоянную кривизну и разрывы возникают лишь в третьей производной.

Обычно для сплайна выбирают кубический полином , определенный на интервале х из [x_i-1, х_i].

При этом вся кривая представляет собой набор таких кубических полиномов, с определенным образом подобранными коэффициентами а_i, b_i, c_i, d_i, i- параметр сплайна.

! Если вдоль сплайна совершается механическое движение, то непрерывность второй производной предполагает непрерывность ускорения и, следовательно, отсутствие резких изменений приложенной силы.

N+1 узлов

N интервалов

4N неизвестных

 

Условия подбора коэффициентов:

1)условия Лагранжа:, ,

2)непрерывность первой и второй производной в узлах

ф_i’(x_i) = ф_i+1’(x_i); ф_i”(x_i) = ф_i+1(x_i)

3) условия в крайних узлах x₀ и x_n. Обычно задают условия свободных концов сплайна:

ф₁”(x₀) = 0, ф_n”(x_n) = 0

Из полученных условий определяются зависимости между коэффициентами сплайнов:

В узле х = х_i-1 коэффициент a_i = f_i-1.

В следующем узле x = x_i выполняется условие a_i+b_ih_i+c_ih_i²+d_ih_i³ = f_i, где элементарный шаг h_i = x_i – x_i-1.

Потребуем непрерывности первой и второй производной на конце интервала

ф_i^/(x) = b_i+2c_i(x-x_i-1)+3d_i(x-x_i-1)² ,

ф_i^//(x) = 2c_i+6d_i(x-x_i-1);

 

В узле x = x_i первая производная

ф_i^/(x_i) = b_i+2c_ih_i+3d_ih_i² (1)

ф_i+1^//(x_i) = b_i+1 (2)

Приравнивая (1) и (2), получаем b_i +2c_ih_i+3d_ih_i² = b_i+1.

Вторая производная

ф_i^//(x_i) = 2c_i+6c_ih_i (3)

ф_i+1^//(x_i) = 2c_i (4)

Приравнивая (3) и (4), получаем в свою очередь c_i+3d_ih_i = c_i+1. Таким образом стыкуем все полиномы в узлах 1 ≤ i ≤ n-1. В крайних точках диапазона

ф₁^//(x₀) = 2c₁ = 0 → c₁ = 0

ф₁^//(x_n) = 2c_n+6d_nh_n = 0 → c_n +3d_nh_n = 0

Для всех 0 ≤ i ≤ n вышеприведенные соотношения представляют собой полную систему 4 n линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов сплайнов, которую можно привести к системе ЛАУ, выразив коэффициенты a _i, b _i, d _i через c_i и решить методом Гаусса или прогонки.

Система N линейных уравнений для коэффициентов с_i:

 

для ,

где h_i = x_i-x_i-1

 

После определения коэффициентов c_i, 2N коэффициентов b_i и d_i вычисляются по формулам:

,

И N уравнений для ,

 

Сплайновая интерполяция хороша тем, что требует знания в узлах только значений функции, но не ее производных.

Многомерная интерполяция

1) Последовательная интерполяция на прямоугольной сетке. Пусть заданы z _{i j} = z(x_i, y_j) требуется найти z(x, y). Сначала при фиксированных y_j0 найдем значение z(x, y_j0),

Затем по полученному набору значений найдем z(x, y).

В случае интерполяции полиномом Лагранжа общая формула имеет вид

где k и m – количество узлов по сторонам прямоугольной сетки.

2) Треугольная конфигурация узлов.

z (x₀, x₁, y) = [z(x₀, y)-z(x₁, y)]/(x₀-x₁)

z (x, y₀, y₁) = [z(x, y₀)-z(x,y₁)]/(y₀-y₁)

Многочлен Лагранжева типа в этом случае имеет вид

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: