Численное решение систем нелинейных уравнений
Постановка задачи. Требуется решить систему нелинейных уравнений Убедиться в существовании решения и количестве корней, а также выбрать нулевое приближение в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными можно, построив графики функций в удобных координатах. В случае сложных функций можно посмотреть поведение аппроксимирующих их полиномов. Для трех и более неизвестных, а также для комплексных корней, удовлетворительных способов подбора начального приближения нет. Метод Ньютона. Обозначим
Это можно интерпретировать как первые два члена разложения функции в ряд Тейлора вблизи
Мы получили систему линейных уравнений, неизвестными в которой выступают величины
где в данном случае
Критерием окончания итерационного процесса является условие
Блок-схема метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Так как метод Ньютона отличается высокой скоростью сходимости при выполнении условий сходимости, на практике критерием работоспособности метода является число итераций: если оно оказывается большим (для большинства задач >100), то начальное приближение выбрано плохо.
Частным случаем решения (4) методом Ньютона системы из двух нелинейных уравнений являются следующие легко программируемые формулы итерационного процесса:
Метод простых итераций. Метод простых итераций для решения (1) аналогичен методу, рассмотренному при решении нелинейных уравнений с одним неизвестным. Прежде всего, выбирается начальное приближение
и по ней осуществляется итерационный цикл. Если итерации сходятся, то они сходятся к решению уравнения (1). Обозначим Например, для исходной системы уравнений
где множители
Метод спуска. Рассмотрим функцию Поиск минимума функций.
Задачи поиска максимума эквивалентны задачам поиска минимума, так как требуется лишь поменять знак перед функцией. Для поиска минимума необходимо определить интервал, на котором функция могла бы иметь минимум. Для этого можно использовать (1) графическое представление функции, (2) аналитический анализ аппроксимирующей функции и (3) сведения о математической модели исследуемого процесса (т.е. законы поведения данной функции).
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|