 |
Билеты по аналитической геометрии 2006. «А» Факультет.
|
|
|
|
(билеты состоят из двух частей: аналитическая геом. и лин. алгебра, здесь представлены просто вопросы без их объединения в билеты)
Билет 1.
Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Их свойства.
Векторы. Основные понятия
Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор  ,  ,  ,  , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).
Нулевым вектором (обозначается  ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается  ,  ).
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают  , а также  , если векторы сонаправлены, и  , если они противоположно направлены).
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены (  ) и имеют равные длины (  ). Обозначают  .
Для каждого вектора , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается  и удовлетворяет условиям:  ,  .
| ||
Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).
Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается , ).
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают , а также , если векторы сонаправлены, и , если они противоположно направлены).
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены ( ) и имеют равные длины ( ). Обозначают .
Для каждого вектора , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается и удовлетворяет условиям: , .
|
; затем от точки А отложим вектор 
. Вектор 
, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается 
(рис. 1).
Рис. 1
Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы 
. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор 
Рис. 2
Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).
Рис. 3
Вычитание векторов. Разностью 
векторов 
Û 
.
Если векторы 
Рис. 4
Таким образом, если на векторах 
, совпадающий с другой диагональю, – разности 
Рис. 5
Умножение вектора на число. Произведением вектора 
называется вектор 
), определяемый следующими условиями:
1) 
,
2) 
при 
и 
при 
.
Очевидно, что при 
.
Построим, например, векторы 
и 
для заданного вектора 
Рис. 6
Из определения следует: два вектора 
(2.1)
Свойства линейных операций:
1) 
;
2) 
;
3) 
; 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
; 
;
Пусть дан вектор 
) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором 
для любого вектора
|
|
|
|
|
|
Билет 2.
Линейная зависимость, линейная независимость систем векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
Билет 3.
Базис в плоскости и пространстве. Разложение по базису. Линейные свойства координат вектора.
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим 
, 
, 
– единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.
Пусть 
– произвольный вектор в пространстве. Перенесем его начало в точку O ( 
) и построим прямоугольный параллелепипед, в котором вектор является диагональю (рис. 11). Тогда 
, где 
, 
, 
– составляющие вектора по осям Ox, Oy, Oz. Но 
, аналогично 
,
.
Рис. 11
Обозначая 
, 
, 
, получим 
.
Это равенство называется разложением вектора по базису 
, 
, 
, а числа 
, 
, 
называются координатами вектора в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут 
или 
.
Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.
Зная координаты вектора, легко выразить его длину:
(2.2)
(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений).
Если 
, где 
, 
, то 
, 
, 
. Тогда 
, или
так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.
Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:
если 
, 
, 
, то
1) 
, 
, 
– равные векторы имеют соответственно равные координаты;
2) 
– при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;
3) 
– при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;
4) 
, 
, 
, то есть 
–
координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Билет 4.
Ортонормированные базисы. Их свойства. Проекция вектора на ось. Направляющий косинус вектора.
|
|
|
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Конечномерный случай
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.
Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (
), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:
можно найти так:
.
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора 
квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).
Бесконечномерный случай
Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e 1, e 2,..., en,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент 
однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда
|
|
|
называемого рядом Фурье элемента x по системе { en }.
Часто базис { en } выбирается так, что | en | = 1, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа an, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонормированному базису { en }, имеют вид
an = (x, en).
Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система { en } была базисом, является равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным
, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.Если задана произвольная система чисел { an } такая, что 
, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом { en } ряд 
— сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l 2 (теорема Рисса — Фишера).
Примеры
Стандартный базис 
в n-мерном евклидовом пространстве R n является ортонормированным.
Множество 
образует ортонормированый базис в L2([-π, π]
| Проекция вектора на ось |
Углом между двумя ненулевыми векторами и  называется наименьший угол  (  ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О (рис. 7).
Рис. 7
Под углом между вектором и осью  понимают угол между векторами и  (рис. 8).
Рис. 8
Пусть – некоторая ось, а  – вектор, произвольно расположенный в пространстве. Обозначим  и  – проекции на ось соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 9). Вектор  называется составляющейвектора по оси .
Рис. 9
Проекцией вектора на ось (обозначается пр  ) называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком «плюс», если  , и со знаком «минус», если  .
Очевидно, что пр  , если вектор образует острый угол с осью ; пр  , если этот угол тупой; пр  , если  .
Если известны координаты точек  и на оси:  ,  , то пр  .
Нетрудно доказать свойства проекций:
1) Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
2) пр  пр  пр  .
3) пр  aпр  ,  .
4) пр  , где  – угол между вектором и осью.
Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением сост  пр  .
|
| Направляющие косинусы вектора |
Направление вектора в пространстве определяется углами  , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора:  ,  ,  .
Рис. 12
Из свойств проекций:  ,  ,  . Следовательно,
 ,  ,  . (2.5)
Легко показать, что
1)  ;
2) координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами:  .
|
|
|
|
Билет 5.
Скалярное произведение, его свойства. Выражение через координаты сомножителей.
| Скалярное произведение векторов |
Скалярным произведением двух векторов (обозначается  или  ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:  , где  .
Учитывая, что  ,  , можно записать:  . Отсюда
 . (2.8)
Из физики известно: если  – постоянная сила, действующая на материальную точку, а  – вектор перемещения точки под действием этой силы, то работа, совершаемая силой на участке l, равна  .
Свойства скалярного произведения:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  , или  , или. 
Таким образом,  – условие перпендикулярности векторов.
5)  , или, обозначая  (скалярный квадрат вектора ), получим  , откуда  .
Пусть известны координаты векторов  и  :  ,  .
Тогда  
Таким образом, 
|
Билет 6.
Векторное произведение, его свойства. Выражение через кординаты сомножителей.
| Векторное произведение векторов |
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой (начала векторов тройки предполагаются совмещенными).
Так, на рис. 16 тройка , ,  – правая, а тройка , , – левая (из конца вектора кратчайший поворот от к виден по часовой стрелке).
Рис. 16
Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается  или  и определяется следующим образом: 
1)  где  – длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;
2) `  ,`  – этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;
3) векторы  , ,  образуют правую тройку.
Из условия (1) следует, что модуль вектора` численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис 17):  ,  .
Рис. 17
Из физики известно: если  – сила, приложенная к точке М, то момент  этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов  и :  .
Свойства векторного произведения:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  , или  , или  ;
4a)  .
Заметим, что из определения и свойств следует: 
 ;  ;  ;  ;  ;  ;  .
Пусть известны координаты векторов  и :  ,  . Тогда 
=[по свойствам 2, 3] 
 [на основании замечания] 
 .
Таким образом,
 .
|
Билет7.
Смешанное произведение, его свойства. Выражение через кординаты сомножителей.
Смешанным,или векторно-скалярным произведением трех_векторов (обозначается  ) называется произведение вида  .
Пусть известны координаты векторов:  ,  ,  . Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами 
 .
Скалярное произведение вектора  на вектор  : 
Таким образом,
 . (2.11)
Нетрудно показать, что  .
Отложим данные некомпланарные векторы ,  ,  от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).
Рис. 18
По определению скалярного произведения   , где  – угол между векторами  и  . Но  – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и  , а  , где  – высота параллелепипеда. Таким образом,  .
Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать:  .
Объем тетраэдра, построенного на векторах , , (рис. 19) равен  .
Рис. 19
Заметим, что если векторы , , образуют правую тройку, то  и`  , а если левую, то  и  .
Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.
Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы , , компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор  перпендикулярен этой плоскости, следовательно,  ,
а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть  .
Достаточность. Пусть  . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого  , а это противоречит условию  . Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.
|
Билет 8.
Декартовая система координат на плоскости и в пространстве. Формулы перехода от одной сисетмы координат к другой. (сдвиг начала координат, поворот осей)
|
|
|
