Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = или j- го столбца d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j = В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение. Пример 2.4. Не вычисляя определителя Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель Определитель второго порядка Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали: Примеры определителей второго порядка: Определитель третьего порядка Определителем третьего порядка называется следующее выражение: Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольников, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус. Примеры определителей третьего порядка:
Билет 28. Операция транспонирование матрицы и ее свойства. Определитель транспонированной матрицы. Транспонирование матриц. Пусть Транспонированная матрица также обозначается символами Заметим, что при транспонировании матрицы её строки становятся столбцами матрицы Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами: 1) 2) 3) 4) Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения. Приведём доказательство свойства 3). Пусть что доказывает справедливость свойства 3).
Билет 29. Свойства линейности определителя (10 штук). Операции над столбцами и строками не меняющие определитель. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Каждой квадратной матрице А соответствует число, которое называется ее определителем, или детерминантом, и обозначается | А |, det А, или det А и равное алгебраической сумме n! произведений вида Итак, det А где суммирование распространено на все перестановки из чисел 1, 2,..., n. Здесь Например, для n
для n
Правило вычисления определителя
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|