 |
Декартова система координат в пространстве.
|
|
|
|
Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью.
Билет 9.
Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой. Простейшие задачи.
| Прямая на плоскости |
Пусть  – заданная точка на прямой  ,  – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть  – произвольная точка прямой (рис. 20). Тогда  ,  , то есть
 . (2.12)
(2.12) – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Рис. 20
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.12), получим  . Обозначим  , уравнение примет вид
 . (2.13)
(2.13) – общее уравнение прямой на плоскости.
Если в уравнении (2.13)  ,  ,  , то, перенеся слагаемое С в правую часть и разделив на него обе части уравнения, получим
 , или  . Обозначим  ,  , тогда уравнение примет вид
 (2.14)
(2.14) – уравнение прямой в отрезках, здесь a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 21): из уравнения (2.13) при  получим  , а при   .
Рис. 21
Пусть  – заданная точка на прямой  ,  – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть  – произвольная точка прямой (рис. 22). Тогда
 ,  
. (2.15)
(2.15) – каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
Рис. 22
В частности, если прямая параллельна оси  , то ее направляющий вектор  , и каноническое уравнение имеет вид  , или  . Если  , то  , и каноническое уравнение прямой  , или  .
Если в уравнении (2.15) величину отношения положить равной  ( – параметр, переменная величина,  ):
 ,  , то, выразив  и  из уравнений, получим
 ,  . (2.16)
(2.16) – параметрические уравнения прямой.
Пусть на прямой заданы две точки  и  . Тогда вектор  является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.15), можно записать
 . (2.17)
(2.17) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть – заданная точка на прямой ,  – угол наклона прямой к оси ,  (рис. 23). В качестве направляющего вектора прямой возьмем единичный вектор  . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами, поэтому  ,но  . Используя уравнение (2.15), получим  , или  . Обозначив  (  – угловой коэффициент прямой), получим уравнение
 . (2.18)
Рис. 23
Выразив из (2.18) :  и обозначив  , получим
 . (2.19)
(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.19)  – ордината точки пересечения прямой с осью  .
Угол между двумя прямыми. Пусть прямые  и  заданы соответственно уравнениями  ,  , где  ,  . Обозначим  угол между прямыми:  (рис. 24). Тогда  ,  .
Рис. 24
Таким образом,
 . (2.20)
Если  , то  , а следовательно,  , то есть k1= k2.
Если  , то  ,  не определен,  , следовательно,  , или  .
Если прямые и заданы соответственно уравнениями
 ,  , где  ,  – нормальные векторы прямых, то  , или  .
Если  , то  , следовательно,  .
Если ,  , то есть  .
Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая на плоскости задана уравнением  и точка  имеет координаты  (рис. 25).
Обозначим  – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую ,  ,  – расстояние от точки до прямой . Тогда  , а  – нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение  . С одной стороны,  , так как  , следовательно, угол между ними  или  . С другой стороны,  , но точка  , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению  , откуда  , поэтому  . Приравнивая выражения, получим
 . Тогда  или
 . (2.21)
Рис. 25
|
|
|
|
Билет 10.
|
|
|
Плоскость в пространстве. Различные формы уравнения плоскости. Простейшие задачи.
| Плоскость в пространстве | ||||||||
Пусть Мо(хо, уо, zо) – заданная точка в плоскости a,  = (А; В; С) – вектор, перпендикулярный плоскости a, его называют нормальным вектором плоскости, и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис. 43). Тогда   то есть
(2.28) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Рис. 43 Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, получим
(2.29) – общее уравнение плоскости. Если в этом уравнении А, В, С, Д ¹ 0, то его можно привести к виду
(2.30) – уравнение плоскости в отрезках (аналогично (2.14)). Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Пусть заданы три точки в плоскости: М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3), и пусть М(х, у, z)–произвольная_точка_плоскости_(рис.44). Тогда
(2.31) – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Рис. 44 | ||||||||
| Неполные уравнения плоскостей | ||||||||
Если в уравнении плоскости  какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости.
Пусть, например,  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, проходящую через начало координат (координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).
Пусть  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, параллельную оси Оz или проходящую через ось Оz при Действительно, тогда  то есть  а плоскость 
Пусть  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, параллельную плоскости Оуz или совпадающую с ней при Действительно,  то есть  а плоскость  или 
Аналогично можно рассмотреть другие случаи.
| ||||||||
| Угол между двумя плоскостями | ||||||||
Пусть плоскости a1 и a2 заданы соответственно уравнениями:
 где   и  – нормальные векторы этих плоскостей (рис. 45). Очевидно,  тогда косинус угла между плоскостями
Рис. 45
Если Если | ||||||||
Обозначим 
уравнение примет вид
Эти векторы компланарны (лежат в одной плоскости), следовательно, их смешанное произведение равно нулю: 
или через координаты
то 
– условие параллельности плоскостей.
то 
то есть 
– условие перпендикулярности плоскостей.
Билет 11.
Нормальные уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Отклонение точки от прямой (плоскости). Задачи решаемые с помощью отклонения.
|
|
|
