Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
 МегаЛекции

Расстояние от точки до прямой в пространстве




Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

|M1M0×a|=|M1M0|•|a|•sinφ. sinφ=d/|M1M0|, следовательно, d=|M1M0|•sinφ. Тогда в силу первого равенства |M1M0×a|=d•|a|. d=|M1M0×a|/|a|. Так как относительно ПДСК вектор M1M0={x0-x1, y0-y1, z0-z1}, a={a, b, c}, то

 

Билет 15.

Расстояние между скрещивающимися прямыми, пересечение двух прямых.

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Свойства


Теорема

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и при том только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Доказательство

Пусть a и b – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них параллельные плоскости α и β. Прямые, пересекающие прямую a и перпендикулярные плоскости α, лежат в одной плоскости (γ). Эта плоскость пересекает плоскость β по прямой a`, параллельной a. Пусть B – точка пересечения прямых a` и b. Тогда прямая AB, перпендикулярная плоскости α, перпендикулярна и плоскости β, так как β параллельна α. Отрезок AB – общий перпендикуляр плоскостей α и β, а значит, и прямых a и b.
Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный. Допустим, что у прямых a и b есть другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую b`, параллельную b. Прямая CD перпендикулярна прямой b, а значит, и b`. Так как она перпендикулярна прямой a, то она перпендикулярна плоскости α, а значит, параллельна прямой AB. Выходит, что через прямые AB и CD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые AC и BD, а это невозможно, что и требовалось доказать.

 

Билет 16.

Эллипс. Вывод. Каноническое уравнение. Свойства. Эксцентриситет и директриса.

Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Обозначим фокусы F1, F2, расстояние между ними – 2с, постоянную из определения – 2а (по условию 2а > 2с, то есть а > с). Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокусы и точка О находилась на середине отрезка F1F2. В такой системе координат F1(-с; о), F2(с; о) (рис. 28).   Рис. 28 Выведем уравнение эллипса в выбранной системе координат. Для этого рассмотрим произвольную точку эллипса М(х, у). По определению Но следовательно, Преобразуем это уравнение, дважды возводя в квадрат обе части:       Обозначим Разделив обе части на а2в2, получим каноническое уравнение эллипса:  
(2.22)

 

Уравнение содержит только четные степени х, у, следовательно, кривая симметрична относительно осей координат. В первой координатной четверти уравнение имеет вид при возрастании х от 0 до а у убывает от в до 0. Учитывая симметрию, можно сделать вывод о форме эллипса (рис. 29).

 

Рис. 29

Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, точка их пересечения 0 – центром эллипса. Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса (А1, А2, В1, В2). Отрезки А1А2 и В1В2, а также их длины 2а и 2в называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и в называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси называется эксцентриситетом эллипса. e < 1.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем меньше эксцентриситет, тем меньше его малая полуось в отличается от большой полуоси а, то есть тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси

Пример 14. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки и Написать его уравнение, найти эксцентриситет.

Решение. Координаты точек М и А должны удовлетворять уравнению (2.22): Решив систему, получим тогда уравнение эллипса

Билет 17.

Гипербола. Вывод. Каноническое уравнение. Свойства. Эксцентриситет и директриса.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Обозначим фокусы F1, F2, расстояние между ними – 2с, постоянную из определения – 2а (по условию 2а < 2с, а < с). Выберем систему координат так же, как при выводе уравнения эллипса (см. рис. 28). По определению или   Обозначив и разделив обе части на а2в2, получим каноническое уравнение гиперболы:  
(2.23)

 

Кривая симметрична относительно осей координат, так как уравнение содержит только четные степени х, у. В первой координатной четверти уравнение имеет вид х ³ а; при возрастании х от а до +¥ у возрастает от 0 до +¥. Учитывая симметрию, можно сделать вывод о форме гиперболы (рис. 30).

 

Рис. 30

Полагая в каноническом уравнении у = 0, найдем точки пересечения гиперболы с осью ОХ: х = ±а. При х = 0 уравнение не имеет решений, то есть с осью ОУ гипербола не пересекается. Точки А1(-а; 0) и А2(а; 0) называются вершинами гиперболы. Фокальная ось (ось, на которой лежат фокусы) называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная ей ось – мнимой осью. Действительной осью называется также отрезок А1А2 и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки В1(0; -в) и В2(0; в), а также его длина 2в называются мнимой осью гиперболы. Числа а и в называются соответственно действительной и мнимой полуосями.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. e > 1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение полуосей гиперболы, то есть тем сильнее вытянут ее основной прямоугольник относительно фокальной оси

Рассмотрим часть гиперболы, расположенную в первой четверти: Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой Пусть М(х, у) и N(х, У) – точки с одной и той же абсциссой, лежащие соответственно на гиперболе и на прямой (рис. 31). Рассмотрим разность ординат этих точек:

 

Рис. 31

 

Очевидно, что при неограниченном возрастании х эта разность стремится к нулю, то есть точки М и N неограниченно сближаются. Из симметрии гиперболы относительно осей координат следует, что этим же свойством обладает прямая Прямые и называются асимптотами гиперболы.

На рисунке 32 показано, как с помощью основного прямоугольника гиперболы (это прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2в, параллельными осями координат) построить асимптоты гиперболы. Из рисунка видно также взаимное расположение гиперболы и ее асимптот.

 

Рис. 32

Пример 15. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен

Решение. По условию 2с = 26, Следовательно, большая полуось гиперболы Тогда малая полуось Уравнение гиперболы имеет вид

 

 

Билет 18.

Парабола. Вывод. Каноническое уравнение. Свойства. Эксцентриситет и директриса.

Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Обозначим фокус F, расстояние от фокуса до директрисы р. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу и начало координат делило пополам расстояние между фокусом и директрисой (рис. 33). Тогда а уравнение директрисы Рис. 33 Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат. Пусть М(х, у) – произвольная точка параболы, МN – перпендикуляр, опущенный из точки М на директрису. По определению МN = МF. Но Тогда или
(2.24)

 

– каноническое уравнение параболы.

Уравнение содержит у лишь в четной степени, следовательно, кривая симметрична относительно оси ОХ. При х = 0 у = 0, то есть парабола проходит через начало координат. Из уравнения следует, что х ³ 0 – кривая располагается в правой полуплоскости. При х ® +¥ ôуô ® +¥ (рис. 34). Ось симметрии параболы называется ее фокальной осью, точка 0 – вершиной параболы.

Рис. 34

Замечание. При другом выборе системы координат получаются канонические уравнения другого вида (рис. 35, 36, 37).

 

х2=2ру

 

Рис. 35

у2=–2рх

 

Рис. 36

 

х2=–2ру

 

Рис. 37

 

 

Билет 19.

Общие уравнения кривой второго порядка. Упрощение уравнения с помощью поворота осей.

 
Для исследования кривых второго порядка, общее уравнение которых имеет вид , рассматривается произведение .
  • Если , то эллипс;
  • Если , то гипербола;
  • Если , то парабола.
Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a. При повороте осей координат на угол a координаты x ’, y ’ произвольной точки М плоскости в системе координат х’O’y ’ и координаты Х, Y в новой системе координат XO’Y связаны соотношениями: . Выделение полного квадрата В процессе исследования кривых 2-го порядка, уравнение которых записано в общем виде, полезна "процедура выделения полного квадрата". Выделяем полный квадрат уравнения получим: или , обозначим: ; . П.IV.2(1). Если , то уравнение задает кривую эллиптического типа. Причем:
  1. - мнимый эллипс.
  2. - точка .
  3. , то имеем - канонический вид
эллипса. П.IV.2(2). Если , то уравнение задает кривую гиперболического типа. Причем:
  1. Если ,
  2. или имеем: или
  3. - канонический вид гиперболы.
  4. Если и учитывая знаки и имеем: - пара пересекающихся прямых.
П.IV.2(3). Если:
  1. , то общее уравнение задает кривую
параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем: .Обозначим: имеем: - канонический вид параболы.
  1. , то - кривая параболического типа.
Выделяя полный квадрат имеем: .Обозначим: - имеем: - канонический вид параболы. Пример 16. Построить кривую Решение. Тогда уравнение можно записать в виде или или – уравнение гиперболы с полуосями а = 4, центр которой находится в точке О1(-1; 3) (рис. 38). Рис. 38

Билет 20.

Общее уравнение кривой второго порядка. Упрощение уравнения с помощью переноса начала координат. Центральные кривые.
Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...