Графический способ решения задачи линейного прогаммированя

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и целевой функции задачи.

Каждое из неравенств задачи линейного программирования определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений включает равенства, поскольку любое равенство можно представить в виде системы двух неравенств

Целевая функция при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значенияL, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения Lповлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным. Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значениеL.

Вектор с координатами из коэффициентов целевой функции при и перпендикулярен к каждой из линий уровня. Направление вектора совпадает с направлением возрастания целевой функции, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания целевой функции противоположно направлению вектора.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки . Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня , соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

Рисунок 2 1 Построение графиков, и выявление общей области решения

Рисунок 2 2 Построение вектора градиента и вспомогательной

Рисунок23 Определение точек экстремума

Особые случаи

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны могут возникнуть следующие ситуации, когда:

· Существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум);

· Целевая функция не ограничена;

· Отсутствует общая область допустимых решений.

Рисунок 2 4 Бесконечное множество решений (альтернативный оптиум)

Рисунок 2 5 Целевая функция не ограничена

Рисунок 2 6 Отсутствует общая область допустимых решений

Методика решения задач линейного программирования графическим методом.

1. В ограничениях задачи заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые.

2. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи. Для этого нужно подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки (например, (0;0)), и проверить истинность полученного неравенства.
Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку; Иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.
Поскольку и должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси и правее оси, т.е. вI-й координатной плоскости.
Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой. Поэтому необходимо выделить на графике такие прямые.

3. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений.

4. Если ОДР не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня (где L– произвольное число, например, кратное и , т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

5. Построить вектор , который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке . Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны.

6. При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора, при поиске минимума ЦФ против направления вектора. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум).

7. Определить координаты точки max(min) ЦФ и вычислить значение ЦФ . Для вычисления координат оптимальной точки необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится.

6. Взаимно-двойственные ЗЛП и их экономический смысл.