Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу! Архитектура Биология География Искусство История Информатика Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Охрана труда Политика Правоотношение Разное Социология Строительство Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника Текущая стоимость – сегодняшняя стоимость суммы, которая будет получена в будущем, дисконтированная на основе той или иной процентной ставки ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7   Концепция текущей стоимости основана на принципе сложных процентов. Предположим, что сегодня инвестирован 1 долл. при годовой процентной ставке i. Тогда через год сумма A1 равная основному капиталу и процентам, составит     Процесс, обратный процессу начисления сложных процентов, называется дисконтированием. Если мы ожидаем, что А2 через два года будет равно $1(1 + i)2, то дисконтированная текущая стоимость 1 долл. при процентной ставке i составит       В общем виде концепция текущей стоимости (PV) будущих прибылей, p, выражается как где PV отражает текущую стоимость будущих прибылей, p, получаемую к концу периода дисконтирования в n лет при свободной от риска периодической ставке дисконта i, выражаемой десятичной дробью. Иначе говоря, если будущие прибыли считаются достоверными, то может быть использована ставка дисконта без учета риска, равная i. Если будущий доход нельзя считать гарантированным, то мы используем рисковую ставку дисконтирования r, определяемую как i плюс премия за риск, компенсирующая его. Таким образом, величина r отражает степень риска. Это будет норма капитализации или стоимости капитала фирмы, т.е. та норма дохода, которую потребуют инвесторы после изучения экономического положения фирмы и финансового риска.   Независимо от того, какую переменную вы используете (i или r), модель позволит максимизировать текущую стоимость дисконтированного потока прибылей. Если ожи­дается, что поток прибылей будет изменяться по годам, то уравнение можно привести к следующему виду:   (5)   де p1 p 2, p 3 и pn представляют прибыли, ожидаемые фирмой в первом, втором, третьем и n-м годах при рисковой ставке дисконта г или требуемой норме дохода.   Если ожидается в каждом году получать равную прибыль, то задача максимизации потока прибылей существенно упрощается и сводится к задаче максимизации к. Текущая стоимость потока равных прибылей может быть вычислена по формуле (5), одна­ко будет значительно проще воспользоваться формулой   (6)   где p— периодические платежи; r — рисковая ставка дисконта; n - количество периодов.   Выражение в скобках называется показателем дисконтирования. Его вывод приведен в Приложении 2А в конце данной главы, а показатель дисконтирования при переменной величине годовой дисконтной ставки представлен в табл. А Приложения, помещенного в конце данной книги.   В динамической ситуации, когда предполагается возможность изменения величины p, задача максимизации значительно усложняется и приходится использовать уравнение (5). Однако для практического ее решения часто бывает полезно предположить равномерное распределение годовой прибыли на перспективу и считать, что эта тенденция сохранится до тех пор, пока изменение условий (ввод в эксплуатацию нового завода) не потребует изменить исходное предположение.   Если ожидаемый поток равномерной годовой прибыли, U, сохраняется постоянным в неограниченном интервале времени (т.е. бесконечно), то текущая стоимость такой последовательности доходов, PV, примет вид   (7)   где r — норма капитализации, характеризующая бизнес данной фирмы и ее финансовый риск.

23. Изокванты производственной функции Кобба-Дугласа.

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КОББА—ДУГЛАСА (Cobb— Douglas production function) — частный случай соотношения между выпуском продукта и затратами факторов производства (труда и капитала), используемых в производстве этого продукта:

Этот частный вид ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ предполагает, что в условиях эффективной конкуренции на рынках факторов эластичность технического замещения между трудом и капиталом равна единице. Производственная функция Кобба— Дугласа обладает тем свойством, что доли каждого фактора в стоимости продукта постоянны (они соотносятся как α и β), хотя в абсолютном выражении затраты труда и капитала могут изменяться.

Производственная функция Кобба-Дугласа в теории производства в экономике — зависимость объемапроизводства Q от создающих его затрат труда L и капитала K.

Впервые была предложена Кнутом Уикселлом. В 1928 году функция проверена на статистических данныхЧарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринятапопытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объемвыпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

Где А — технологический коэффициент, α — коэффициент эластичности по труду, а β — коэффициентэластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (α + β) равна единице, то функция Кобба-Дугласа является линейнооднородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если онаменьше единицы, - убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба-Дугласа, будет выпуклой и"гладкой"

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающейпромышленности США, в виде равенства

Разногласия

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента λ в разныхсекторах экономики.

Например, рассмотрим функцию для двух секторов экономики с одинаковыми технологическимикоэффициентами:

Как видно в сумме мы не получим:

Равенство возможно лишь если:

24. Производственная функция Кобба-Дугласа.

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КОББА—ДУГЛАСА (Cobb— Douglas production function) — частный случай соотношения между выпуском продукта и затратами факторов производства (труда и капитала), используемых в производстве этого продукта:

Этот частный вид ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ предполагает, что в условиях эффективной конкуренции на рынках факторов эластичность технического замещения между трудом и капиталом равна единице. Производственная функция Кобба— Дугласа обладает тем свойством, что доли каждого фактора в стоимости продукта постоянны (они соотносятся как α и β), хотя в абсолютном выражении затраты труда и капитала могут изменяться.

Производственная функция Кобба-Дугласа в теории производства в экономике — зависимость объемапроизводства Q от создающих его затрат труда L и капитала K.

Впервые была предложена Кнутом Уикселлом. В 1928 году функция проверена на статистических данныхЧарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринятапопытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объемвыпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

Где А — технологический коэффициент, α — коэффициент эластичности по труду, а β — коэффициентэластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (α + β) равна единице, то функция Кобба-Дугласа является линейнооднородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если онаменьше единицы, - убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба-Дугласа, будет выпуклой и"гладкой"

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающейпромышленности США, в виде равенства

Разногласия

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента λ в разныхсекторах экономики.

Например, рассмотрим функцию для двух секторов экономики с одинаковыми технологическимикоэффициентами:

Как видно в сумме мы не получим:

Равенство возможно лишь если:

25. Решение, оптимальное по Парето (на примере)

Выбор множества Парето-оптимальных решений (множества Парето) представляет собой отбор перспективных альтернатив, из которых затем отбирается одна (лучшая) альтернатива.

Множество Парето представляет собой множество альтернатив, обладающих следующим свойством: любая из альтернатив, входящих во множество Парето, хотя бы по одному критерию лучше любой другой альтернативы, входящей в это множество.

Выбор множества Парето производится следующим образом. Все альтернативы попарно сравниваются друг с другом по всем критериям. Если при сравнении каких-либо альтернатив (обозначим их как Ai и Aj) оказывается, что одна из них (например, Aj) Не лучше другой ни по одному критерию, то ее можно исключить из рассмотрения. Исключенную альтернативу (в данном случае — Aj) не требуется сравнивать с другими альтернативами, так как она явно неперспективна.

Как правило, во множество Парето входит несколько альтернатив. Поэтому выбор множества Парето не обеспечивает принятия окончательного решения (выбора одной лучшей альтернативы), однако позволяет сократить количество рассматриваемых альтернатив, т. е. упрощает принятие решения.

Пример. Химический комбинат планирует внедрить комплекс средств автоматизации (КСА) для системы управления технологическими процессами. Имеется возможность выбрать один из семи вариантов КСА (КСА1, КСА2,…,КСА7). При выборе учитываются четыре критерия: затраты, связанные с изготовлением КСА и его вводом в эксплуатацию; срок ввода КСА в эксплуатацию; срок гарантийного обслуживания предприятием-изготовителем; удобство КСА в эксплуатации. Характеристики КСА приведены в табл.1.2.

Примечание. В этой задаче имеется семь альтернатив (вариантов КСА). Они оцениваются по четырем критериям. Критерий “удобство в эксплуатации” — качественный (словесный), остальные критерии — числовые. Критерии "затраты" и "срок ввода в эксплуатацию" подлежат минимизации, критерий "срок гарантийного обслуживания" — максимизации.

Выберем множество Парето. Для этого выполним попарное сравнение альтернатив по всем критериям.

Таблица 1.2

Сравниваем КСА1 и КСА2. По критерию “затраты” лучше КСА2; по критериям “срок ввода в эксплуатацию” и "срок гарантийного обслуживания" эти КСА одинаковы. По критерию “удобство в эксплуатации” лучше КСА2. Таким образом, ни по одному критерию КСА1 не лучше, чем КСА2. Альтернатива КСА1 исключается из рассмотрения, так как она явно не лучшая. Сравнивать другие альтернативы с КСА1 не требуется.

Сравниваем КСА2 и КСА3. По критериям “затраты”, "срок гарантийного обслуживания" и "удобство в эксплуатации" лучше КСА2, по критерию “срок ввода в эксплуатацию” — КСА3. Таким образом, ни одна из альтернатив не исключается, так как по одним критериям лучше КСА2, а по другим — КСА3.

Сравниваем КСА2 и КСА4. По критериям “затраты” и "срок гарантийного обслуживания" лучше КСА2, по критерию "срок ввода в эксплуатацию — КСА4, по критерию "удобство в эксплуатации" альтернативы одинаковы. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА2 и КСА5. По критериям “затраты” и "удобство в эксплуатации" лучше КСА2, по критерию "срок ввода в эксплуатацию" — КСА5, по критерию "срок гарантийного обслуживания" альтернативы одинаковы. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА2 и КСА6. По критерию “затраты” лучше КСА6, по критерию "удобство в эксплуатации" — КСА2, по критериям "срок ввода в эксплуатацию" и "срок гарантийного обслуживания" альтернативы одинаковы. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА2 и КСА7. По критериям “затраты” и "удобство в эксплуатации" лучше КСА2, по критериям "срок ввода в эксплуатацию" и "срок гарантийного обслуживания" — КСА7. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА3 и КСА4. По критерию “затраты” лучше КСА3, по критериям "срок гарантийного обслуживания" и "удобство в эксплуатации" — КСА4, по критерию "срок ввода в эксплуатацию" — одинаковы. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА3 и КСА5. По всем критериям КСА3 лучше. Таким образом, КСА5 можно исключить из рассмотрения.

Сравниваем КСА3 и КСА6. По критериям “затраты” и "удобство в эксплуатации" лучше КСА6, по критериям "срок ввода в эксплуатацию" и "срок гарантийного обслуживания" — КСА3. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА3 и КСА7. По критериям “затраты” и "удобство в эксплуатации" лучше КСА7, по критериям "срок ввода в эксплуатацию" и "срок гарантийного обслуживания" — КСА3. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА4 и КСА6 (сравнение КСА4 с КСА5 не требуется, так как КСА5 исключен из рассмотрения). По критерию “затраты” лучше КСА6, по остальным критериям — КСА4. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА4 и КСА7. По критерию “затраты” лучше КСА7, по критериям "срок гарантийного обслуживания" и "удобство в эксплуатации" — КСА4, по критерию "срок ввода в эксплуатацию" альтернативы одинаковы. Ни одна из альтернатив не исключается.

Сравниваем КСА6 и КСА7. По критериям “затраты” и "удобство в эксплуатации" лучше КСА6, по критериям "срок гарантийного обслуживания" и "срок ввода в эксплуатацию" — КСА7. Ни одна из альтернатив не исключается.

Таким образом, во множество Парето вошли следующие варианты: КСА2, КСА3, КСА4, КСА6, КСА7. Предприятие выберет один из этих вариантов КСА. Для окончательного выбора применяются методы, рассматриваемые ниже.

27. Производственная функция и ее экономико-математические свойства.

Независимо от классификационного определения все факторы производства используют для изготовления экономических благ Предположим, что за очень упрощенного производственного процесса один фактор используют для изготовления какого-то одного материального блага Это можно изобразить в виде формулыи:

Q = F (А)

где Q - экономическое благо;

А - фактор производства;

F - функция

В данном случае экономическое благо является результатом одного фактора В реальной действительности процесс производства происходит значительно сложнее и в нем используются, как правило, не один, а много факторов (рис 22).

Если процесс производства находится на линии АА, фактор производства используется оптимально и постоянно воспроизводимой если ниже этой линии, фактор производства используется частично; если выше л линии АА, этот фактор используется чрезмерно В двух последних случаях нарушается равновесие производственного процесса, что приведет либо к дефициту фактора, или к потребности в его дополнительном количестве Таким образом, эффективное использование фактора производства является условием дальнейшего увеличения масштабов производства, условием расширенного производства того или иного продуктату.

Поскольку процесс производства имеет затраты и результаты, возникает вопрос о производственную функцию Дело в том, что теория факторов производства опирается в определенной степени на использование математического, модельного аппарата, которым выступают факторные модели в виде математической зависимости, связывая величину полученного результата производства с использованием производственных факторов, обусловивших этот рет.

Производственная функция - это техническое соотношение между количеством ресурсов, используемых производителями, и объемом произведенной на этой основе продукции Производственную функцию может быть использовано как на макроэкономическом уровне нет, где она отражает зависимость совокупного объема производства в денежном выражении, так и на микроэкономическом уровняхі.

На микроэкономическом уровне каждая фирма имеет свою, отличную от других субъектов хозяйствования производственную функцию В то же время производственная функция может быть применена к отдельным отраслям, видам производств ва и даже к производству отдельного подразделения предприятийа.

Как правило, производственная функция имеет теоретическое значение, но не лишена и практического применения ее широко используют экономисты для оценки отдельных ресурсов, обеспечивающих экономический рост ния Первым вариантом в этом плане была так называемая производственная функция Кобба - Дугласа, содержанием которой является анализ зависимости объема производства от использования двух основных ресурсов - капитала и трудаці.

Дальнейшее развитие теории производственной функции происходил в направлении анализа такого фактора, как время Анализ этого фактора означал процесс перехода от статистических оценок модели производственной фун фу Кобба - Дугласа к динамической оценки с учетом влияния технического прогресса на объем произведенной продукции, в дальнейшем крупнейшие достижения в исследовании функции принадлежат американским эконом истам Р Солоу и Е Денисонону.

Р Солоу рассчитал показатель, характеризующий материальность технического прогресса и отражает эффективность новых инвестиций в связи со значительными техническими и технологическими изменениями в производственном об этом эсі.

Е Денисон исследовал показатель не материализованного технического прогресса, отражает качественные изменения в экономике как последствия не инвестированных затрат Развитие технического прогресса согласно этой концепции ее возможно за счет повышения уровня образования, квалификации персонала, лучшей организации труда и иін.

Таким образом, производственная функция показывает, что существует много вариантов производства определенного объема продукции за счет определенного набора факторов производства Улучшение технологических параметров, максимально возр Большую объем производства определенного вида продукции, всегда отображается в новой производственной функцииї.

Производственную функцию можно применять для вычисления минимального количества затрат, необходимых для производства любого объема продукции Соотношение набора факторов производства и максимально возмож ивого объема продукции, произведенной в результате этого набора факторов, и раскрывает сущность производственной функцииї.

Свойства производственной функции состоят в следующем.

1. Производственные факторы являются взаимодополняющими. Это значит, если затраты хотя бы одного фактора равны нулю, то и выпуск равен нулю: . Исключение составляет функция . В соответствии с такой функцией можно использовать только труд или только капитал, и выпуск не будет равен нулю.

2. Свойство аддитивности означает, что можно объединить факторы производства и . Но объединение целесообразно лишь в том случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до объединения факторов производства: .

3. Свойство делимости означает, что процесс производства может осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее условие: , где - любое положительное число. При уменьшении числа рабочих и объема капитала вдвое выпуск продукции сократится не более чем наполовину. Данное свойство не выполняется на малых предприятиях, где производственная деятельность при уменьшающихся масштабах либо невозможна, либо неэффективна. Такое свойство характерно для функции, отражающей процесс производства в отрасли или в народном хозяйстве.

4. Отдача от масштаба. Если затраты и изменяются в раз, как правило, возрастают, то выпуск изменяется в раз: .

При этом, если , то имеем неизменную отдачу от масштаба; если - возрастающую отдачу от масштаба; если , то имеет место убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки фирмы не изменяются, при возрастающей – снижаются, при убывающей – возрастают.

Изокванта (или кривая постоянного продукта – (isoquant) представляет собой график производственной функции. Точки на изокванте отражают множество комбинаций факторов производства, использование которых обеспечивает одинаковый выпуск продукции.

Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат. Изокванта (рис. 3.1), лежащая выше и правее другой изокванты, представляет больший объем выпускаемой продукции ( изделий, , ). Однако, в отличие от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно измерить нельзя, изокванты показывают реальный объем производства. Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant map).

Реальная изокванта с выпуском представлена на рис 3.1 а в трехмерном пространстве. Ее проекция отмечена пунктирной линией и перенесена на рис. 3.1 б. Если используются отмеченные сочетания факторов производства , но применяется более прогрессивная технология, то выпуск будет равен . Но проекция у изокванты с таким выпуском будет той же, что и у изокванты с меньшим выпуском. Экономисты располагают на плоскости изокванту с большим выпуском (рис. 3.1 б) выше и правее

изокванты с меньшим выпуском. На рис. 3.1 а взаимосвязь между выпуском и затратами нарушается: выпуск получен с большими затратами труда и капитала, чем . Ниже будет показано, как на расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее параметры.

Эффективность технологии (параметр в функции Кобба-Дугласа) можно представить графически следующим образом (рис. 3.2). В точках и выпуск один и тот же . На рис. 3.2 б изокванта представляет более эффективную технологию, так как затраты на единицу продукции здесь ниже, чем на изокванте на рис. 3.2 а.

28. Достаточные условия экстремума ФНП (по угловым минорам).

Случай функции нескольких переменных ()

Критерий Сильвестра:

Пусть квадратичная форма записана в виде матрицы

Эта форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все его главные миноры положительны.

Форма является отрицательно определенной, если ее главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного:

.

Задача: Исследовать функцию многих переменных на экстремум и вычислить экстремальное значение функции.
Решение: