 |
Необходимое условие экстремума.
|
|
|
|
Теорема. Если дифференцируемая функция 
имеет в точке 
экстремум, то в этой точке обе частные производные первого порядка равны нулю, т. е.
, 
Доказательство: Докажем, например, равенство нулю частной производной 
. Рассмотрим в окрестности точки 
только те точки, в которых 
.
Частная производная функции по х в точке есть производная функции 
, которая имеет экстремум.
Следовательно, 
. Так как 
, то 
.
Аналогично можно показать, что 
. Необходимые условия определения экстремума переносятся на случай функций нескольких переменных.
Эти условия имеют простой геометрический смысл. Они означают, что в точках экстремума касательная плоскость к графику функции параллельна плоскости ХОУ, т. к. в этом случае уравнение касательной плоскости имеет вид 
.
Замечание. В точках экстремума хотя бы одна из частных производных может не существовать.
Точки, в которых первые частные производные 
и 
функции обращаются в ноль или не существуют, называются критическими точками этой функции.
Из изложенного следует, что точки экстремума функции надо искать в её критических точках.
Достаточные условия экстремума.
Существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума. Ответ на вопрос, имеет ли функция в критической точке экстремум, дают достаточные условия экстремума.
Пусть для функции точка является критической точкой. Обозначим: 
, 
, 
, и через 
.
Теорема 5. Если в критической точке 
выполняется неравенство 
, то в этой точке функция имеет экстремум; при этом, если 
, то в точке функция имеет минимум, если 
, то максимум.
Если 
, то в этой точке функция экстремума не имеет.
Если 
, то для выяснения вопроса о существовании экстремума в критической точке необходимы дополнительные исследования (без доказательства).
|
|
|
Пример.
1) 
Определим критические точки
1) В точке 
. Следовательно, в точке 
имеется экстремум.
, то функция имеет в точке 
.
2) 
: 
и 
.
3) 
: 
или 
Вывод: экстремума нет.
2) 
.
21. Система уравнений фирмы (равенство предельного продукта данного ресурса его цене).
22. Модель прибыли фирмы.
Существует значительное количество моделей, позволяющих объяснить поведение коммерческих фирм и их управляющих в терминах их задач и целей.
В их число вошли следующие модели:
- максимизации прибыли,
- максимизации продаж,
- максимизации роста,
- управленческого поведения
- японская модель, направленная на максимизацию добавленной стоимости.
Экономисты давно склонны считать, что главной целью организации любого типа должна быть максимизация ее выгод по отношению к затратам. Для коммерческой организации выгоды, которые она стремится получить, выражаются в форме прибыли. Поскольку наша экономическая система позволяет фирмам в нерегулируемых отраслях получать столько, сколько они смогут получить, первоначально предполагалось, что поведение фирмы наилучшим образом может быть описано при помощи модели максимизации прибыли, разработанной исследователями по теории микроэкономики фирмы.
Ранее варианты моделей максимизации прибыли сосредоточивались на решениях, максимизирующих прибыль в краткосрочной перспективе, т.е. позволяющих максимизировать суммарный краткосрочный доход за вычетом общих затрат. В более поздних вариантах таких моделей предполагалось, что цель фирмы состоит в максимизации стоимости фирмы в перспективе на будущее. Поскольку стоимость фирмы в длительном интервале определяется потоком ее будущих прибылей, которые могут соответствовать, а могут и не соответствовать ожиданиям, модель должна быть развита с тем, чтобы включить в нее текущую стоимость будущих денег (будущих прибылей) и концепцию риска. Для понимания такой модели студент должен четко представлять себе концепцию текущей стоимости.
|
|
|
|
|
|
