Исследование функции на выпуклость и наличие точек перегиба
1. Найти вторую производную 2. Найти точки, в которых вторая производная
3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости или вогнутости и наличии точек перегиба. Пример. Исследовать функцию 1. 2. Вторая производная равна нулю при 3. Вторая производная На интервале На интервале Общая схема исследования функций и построения графика При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему: 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на четность — нечетность. Напомним, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. 3. Найти вертикальные асимптоты. 4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты. 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. 7. Найти точки пересечения с осями координат. Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика. Пример. Исследовать функцию 1. Область определения функции — 2. Исследуемая функция — четная 3. Знаменатель функции обращается в ноль при Точки
4. Поведение функции в бесконечности. поэтому график функции имеет горизонтальную асимптоту 5. Экстремумы и интервалы монотонности. Находим первую производную
Находим вторую производную Так как 6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Функция Функция Функция 7. Точки пересечения с осями координат. Уравнение Уравнение С учетом проведенного исследования можно строить график функции Схематически график функции
Асимптоты графика функции Определение. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки ( Асимптоты бывают 3 видов: вертикальные (см. рис. 3.11а), горизонтальные (см. рис. 3.11б) и наклонные (см. рис. 3.11в). Асимптоты находят, используя следующие теоремы: Теорема 1. Пусть функция Вертикальные асимптоты Теорема 2. Пусть функция
Тогда прямая
Теорема 3. Пусть функция и Тогда прямая Пример. Найти асимптоты графика дробно-рациональной функции Если Особая точка Перепишем дробно-рациональную функцию в виде: Так как Найдём предел
Пример. Найти асимптоты кривой Поэтому Теперь ищем Функция
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|