 |
Теорема об изменении кинетического момента механической системы
|
|
|
|
Относительно центра.
Ранее было получено выражение для кинетического момента
Тогда изменение этой величины будет
– сумма моментов внешних сил относительно центра 
.
Относительно оси.
Тогда
– это дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела вокруг оси 
.
Так как
– угловое ускорение, то
Последнее равенство показывает, что при данном 
чем больше момент инерции тела 
, тем меньше угловое ускорение 
, и наоборот.
Следовательно, момент инерции тела действительно играет при вращении ту же роль, что и масса при поступательном движении, т.е. является мерой инертности тела при вращении.
При этом:
¾ если 
, то 
и 
, тело вращается равномерно;
¾ если 
, то 
, 
, тело вращается равнопеременно.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ.
УСЛОВИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЭТОГО ЗАКОНА
Условия выполнения закона:
1) если тело абсолютно твердое (не меняет размеров), то 
и, как следствие, ;
2) если тело деформируемое или механическая система (МС) меняет размеры (изменяются расстояния между телами МС), то при увеличении размеров увеличивается, а 
уменьшается, и наоборот.
ПОНЯТИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Кинетическая энергия материальной точки – это скалярная величина
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки (рис. 68)
Рис. 68. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
где 
– сумма сил, 
– касательная,
где 
.
или после разделения переменных
где 
– сумма элементарных работ сил 
.
Внося 
и 
под знак дифференциала, получаем
– это дифференциальная форма выражения данной теоремы.
После интегрирования в пределах движения от положения 
до положения 
получается
|
|
|
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
где – количество частей МС.
Важное обстоятельство: кинетическая энергия системы будет изменяться под действием и внешних и внутренних сил, так как скорости точек (тел) системы будут изменяться и под действием внутренних сил.
Для поступательного движения МС
где 
VC – скорость центра масс.
Для вращательного движения вокруг оси Oz
где – момент инерции системы относительно центральной оси, проходящей через центр масс.
Для плоскопараллельного движения
Рис. 69. Кинетическая энергии механической системы
при плоскопараллельном движении
Точка 
– центр масс, 
– полюс (рис. 69).
Момент инерции 
– переменная величина, так как положение точки меняется. Постоянной является величина 
. По теореме Гюйгенса-Штейнера
где 
.
Тогда с учётом, что относительно полюса
получаем
14. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Важное обстоятельство: в отличие от предыдущих теорем здесь (для МС) внутренние силы не исключаются.
Реальный пример: работа сил давления пороховых газов в системе «снаряд – откатывающиеся части» в орудии. Эти внутренние силы сообщают скорости телам системы.
Для всех точек системы в дифференциальной форме элементарное изменение кинетической энергии
– сумма элементарных работ внешних и внутренних сил.
После интегрирования в пределах перемещения системы из положения 
в положение 
получим
Частные случаи, когда всё же 
:
1) неизменная система, в которой расстояние между каждыми двумя точками неизменно;
2) система с идеальными связями, в частности шарнирное соединение: если пренебречь силой трения в шарнире (а это и есть идеальная связь), то работа реакции шарнира равна нолю.
Также не изменяют величину 
силы трения о неподвижную поверхность при качении без проскальзывания.
|
|
|
|
|
|
