Линейная множественная модель

Предположим, что функциональная структура ящика снова имеет линейную зависимость, но количество входных сигналов, действующих одновременно на объект, равно m (см. рис. 2.9):

Y = A ₀ + A ₁ · X ₁ + … + A_m · X_m.

Рис. 2.9. Обозначение многомерного черного ящика на схемах

Так как подразумевается, что мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах черного ящика, то можно вычислить ошибку между экспериментальным (Y_i ^Эксп.) и теоретическим (Y_i ^Теор.) значением Y для каждой i -ой точки (пусть, как и прежде, число экспериментальных точек равно n):

E_i = (Y_i ^Эксп. – Y_i ^Теор.), i = 1, …, n;

E_i = Y_i – A ₀ – A ₁ · X _{1 i} – … – A_m · X_mi, i = 1, …, n.

Минимизируем суммарную ошибку F:

Ошибка F зависит от выбора параметров A ₀, A ₁, …, A_m. Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A ₀, A ₁, …, A_m к нулю:

Получим систему из m + 1 уравнения с m + 1 неизвестными, которую следует решить, чтобы определить коэффициенты линейной множественной модели A ₀, A ₁, …, A_m. Для нахождения коэффициентов методом Крамера представим систему в матричном виде:

Вычисляем коэффициенты A ₀, A ₁, …, A_m.

Далее, по аналогии с одномерной моделью (см. 3). «Проверка»), для каждой точки вычисляется ошибка E_i; затем находится суммарная ошибка F и значения σ и S с целью определить, принимается ли выдвинутая гипотеза о линейности многомерного черного ящика или нет.

При помощи подстановок и переобозначений к линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели. Подробно об этом рассказывается в материале следующей лекции.

Нелинейные регрессионные модели

Полиномиальная множественная регрессионная модель

Рис. 3.1. Обозначение двумерной модели черного ящика на схемах

Если черный ящик имеет, например, два входа, а зависимость выхода от входов напоминает квадратичную, то целесообразно выбрать такую гипотезу:

Y = A ₀ + A ₁ · X ₁ + A ₂ · X ₂ + A ₃ · X ₁ · X ₂ + A ₄ · X ₁ · X ₁ + A ₅ · X ₂ · X ₂.

Обозначим: Z ₁ = X ₁ · X ₂; Z ₂ = X ₁ · X ₁; Z ₃ = X ₂ · X ₂ и подставим эти выражения в предыдущую формулу:

Y = A ₀ + A ₁ · X ₁ + A ₂ · X ₂ + A ₃ · Z ₁ + A ₄ · Z ₂ + A ₅ · Z ₃.

Таким образом, данная задача сведена к линейной множественной модели. А модель черного ящика теперь выглядит так, как показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Преобразованная модель черного ящика

Мультипликативная регрессионная модель

Рис. 3.3. Обозначение модели многомерного черного ящика на схемах

Y = A ₀ · X ₁ ^A ₁ · X ₂ ^A ₂ · … · X_m^A_m.

Прологарифмируем левую и правую части данного уравнения:

ln(Y) = ln(A ₀) + A ₁ · ln(X ₁) + A ₂ · ln(X ₂) + … + A_m · ln(X_m).

Обозначим:

W = ln(Y), B ₀ = ln(A ₀), Z ₁ = ln(X ₁), Z ₂ = ln(X ₂), …, Z_m = ln(X_m).

Получим:

W = B ₀ + A ₁ · Z ₁ + A ₂ · Z ₂ + … + A_m · Z_m.

То есть вновь осуществлен переход к линейной множественной модели.

Обратная регрессионная модель

Рис. 3.4. Обозначение модели многомерного черного ящика на схемах

Y = k /(A ₀ + A ₁ X ₁ + … + A_mX_m).

Заменим: W = 1/ Y, a_i = A_i / k. И перейдем к линейной множественной модели:

W = a ₀ + a ₁ · X ₁ + … + a_m · X_m.

Экспоненциальная модель

Рис. 3.5. Обозначение модели многомерного черного ящика на схемах

Y = e ^B ₀ ^{+ B} ₁ ^X ₁ ^{+ B} ₂ ^X ₂ ^{+ … + B} _m^X_m.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения:

ln(Y) = B ₀ + B ₁ · X ₁ + B ₂ · X ₂ + … + B_m · X_m.

Выполним замену W = ln(Y) и получим:

W = B ₀ + B ₁ · X ₁ + B ₂ · X ₂ + … + B_m · X_m.

Далее пользуемся выражением для линейной множественной модели.

Динамические системы

На предыдущих лекциях мы рассматривали статические модели, то есть случай, когда один эксперимент не зависит от другого. Можно сказать, что система не обладала памятью. То есть, в какой бы момент времени мы ни измеряли значение выходной величины, при одинаковом значении входного сигнала результат был один и тот же. Если каждый раз значение на выходе, при одном и том же входном значении, разное, то есть зависит от того, в какой последовательности подавались входные значения, то мы имеем дело с динамической системой.

Динамические системы, в отличие от статических, помнят свое прошлое состояние, то есть обладают памятью. Поэтому в записи модели динамических систем присутствует производная, связывающая прошлое состояние системы с настоящим. Чем большей памятью обладает система, тем больше состояний из прошлого влияют на настоящее, тем большая степень старшей производной используется в записи модели. В данной лекции рассматриваются динамические системы.

Задача 1. На входе и выходе черного ящика (рис. 4.1) имеются зависимости параметров X и Y от времени t. Задача состоит в том, чтобы адекватно определить черный ящик.

Рис. 4.1. Черный ящик, содержащий динамическую систему. Условное обозначение

Графики зависимостей X (t) и Y (t) могут быть самыми разными, например, такими, как показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Временные зависимости — входной и выходной сигналы

Поскольку моделирование систем подразумевает численные расчеты на компьютере, то аналоговый сигнал переводят в дискретный вид. Для этого с определенной частотой исходный сигнал дискретизируют, как показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Дискретизированный временной сигнал

По этим данным строят таблицу отсчетов (см. табл. 4.1, где Δ t = 0.1).

Таблица 4.1. Табличное представление временного сигнала

i         … i … n t   0.1 0.2 0.3 … Δ t · i … Δ t · n xi   3.2 3.1 2.6 … xi … xn

Совокупность значений переменной в таблице, упорядоченных во времени, часто называют динамическим рядом. Естественно, часть информации при такой операции теряется. Чем меньше расстояние между отсчетами, чем больше частота дискретизации, тем меньше потери информации. Частоту дискретизации принимают такой, чтобы не потерять высокочастотные составляющие в сигнале, отдельные пики (см. также «Лекция 08. Модель динамической системы в виде Фурье представления (модель объекта)»).

Любая динамическая система характеризуется рядом параметров. Обычно (чаще всего) параметрами называют коэффициенты при производных (первой, второй и т. д.) в записи модели. Чем большая степень старшей производной присутствует в записи модели, тем больший порядок динамической системы, тем глубже ее память, и тем больше коэффициентов (параметров) надо определить, чтобы идентифицировать систему.

Как определить параметры динамической системы? Сначала нужно оценить порядок динамической системы: он совпадает со степенью наибольшей из производных Y по отношению к t. Допустим, что на вход системы, до этого находившейся в нулевых начальных условиях, подали единичный сигнал X (t), как показано на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Входной и выходной сигнал, типичный для системы первого порядка

Поясним смысл графика. При нулевых начальных условиях, если входной сигнал отсутствует, выходной сигнал равен нулю, и говорят, что система находится в покое. Если подать на вход единичный (пробный) сигнал и удерживать его на входе достаточно долго, то система на выходе попытается подчиниться ему, начнет отклоняться от нулевого состояния. Ожидается, что система на выходе должна дойти до значения kx, то есть увеличить сигнал x в k раз (k — коэффициент усиления входного сигнала). Но, как видно, происходит это не сразу, а с некоторой задержкой, сигнал на выходе нарастает постепенно, инерционно. Насколько инерционно реагирует система, зависит от параметра T. Система достигнет значения kx на выходе и будет держать этот сигнал, пока держится на входе единичный сигнал. Переход от нуля до kx происходит во времени. Переход — процесс динамический, то есть в сигнале присутствует изменение, которое описывается производной, и выход оказывается меньше входа на некоторую величину f:

y = kx – f (d y /d t).

Когда система достигнет на выходе значения равного kx, то изменений не будет, значение производной станет равной нулю. y = kx.

y = kx — частный случай инерционного звена.

Если на выходе будет наблюдаться экспоненциальный сигнал, то система будет называться системой первого порядка (или звеном первого порядка). Для ее описания достаточно одной производной (а в решении модели будет присутствовать один интеграл):

У такой системы два параметра — T и k.

Заметим, что один интеграл у линейных динамических систем всегда «порождает» одну экспоненту, двойной интеграл — сумму двух экспонент, и так далее.

Чтобы определить, является ли кривая экспонентой, в каждой ее точке проводится касательная до пересечения с линией установившегося уровня (на рис. 4.4 это линия y (t) = k); в случае, если кривая является экспонентой, величина T в любой точке будет постоянной.

Определить T, используя график, можно еще так. Проведите линию, параллельную оси t на уровне 0.95 k. Из точки, где эта линия пересечет экспоненту, опустите перпендикуляр на ось t. Отрезок от 0 до точки пересечения перпендикуляра с осью t будет равен 3 T.

T характеризует инерционность системы (память). При малой величине T система слабо зависит от предыстории и вход мгновенно заставляет измениться выход. При большом значении T система медленно реагирует на входной сигнал, а при очень большом значении T система выдает неизменный выходной сигнал, практически не реагируя на входные воздействия.

Коэффициент k характеризует способность системы к усилению (при k < 1 — к ослаблению) уровня входного сигнала. Чтобы определить коэффициент k на графике, достаточно дождаться успокоения сигнала на выходе системы и вычислить отношение уровня выходного сигнала к уровню входного. Математически это означает, что все слагаемые, содержащие производные, равны нулю (система успокоилась, движения нет), а оставшееся слагаемое Y = k · X определяет значение k.

Звено первого порядка

Звено первого порядка обладает двумя параметрами: инерционностью T и коэффициентом усиления k = Y (t = ∞)/ X.

Чем больше производных учитывается в записи модели, тем со звеном большего порядка мы имеем дело, тем больше коэффициентов при производных следует определить.

Введем понятие передаточной функции как модели динамической системы. По определению передаточная функция — это отношение выхода ко входу:

W = Y / X.

Передаточная функция звена первого порядка имеет вид:

W = k /(Tp + 1),

где «p» — символ дифференцирования, тождественно равный «d / dt». Символ «p» также называется алгебраизованным оператором дифференцирования. Тогда, используя определение передаточной функции, имеем:

Y / X = k /(Tp + 1).

Далее получим:

(Tp + 1) · Y = k · X

или

T · d Y /d t + Y = k · X

или

T · Δ Y /Δ t + Y = k · X.

В разностном виде уравнение можно записать как

T · (Y_{i + 1} – Y_i) + Y_i · Δ t = k · X_i · Δ t.

Или, выразив настоящее через прошедшее:

Y_{i + 1} = A · X_i + B · Y_i.

Здесь A = k · Δ t / T и B = 1 – Δ t / T — весовые коэффициенты. A указывает на вес компоненты X, определяющей влияние внешнего мира на систему, B указывает на вес компоненты Y, определяющей память системы, влияние на ее поведение истории.

В частности, если B = 0, то Y_{i + 1} = А · X_i, и мы имеем дело с безынерционной системой Y = k · X, мгновенно реагирующей на входной сигнал и увеличивающей его в k раз.

Если коэффициент B = 0.5, то есть 1 – Δ t / T = 0.5 или Δ t / T = 0.5, то получаем, что коэффициент A = k · Δ t / T = k · 0.5 и, следовательно, Y_{i + 1} = 0.5 · k · X_i + 0.5 · Y_i. При постоянном (единичном) входном сигнале X будет получен график, как на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Реакция звена первого порядка на единичный входной сигнал для дискретного случая

Экспонента, изображенная на графике, при большом n (в пределе n = ∞) стремится к значению входного (единичного) сигнала X, умноженного на коэффициент усиления k, что подтверждается расчетом:

Y_{n + 1} = 0.5 · k · X_n + 0.5 · Y_n = 0.5 · k · X_n + 0.5 · (0.5 · k · X_{n – 1} + 0.5 · Y_{n – 1}) =
= … = (0.5¹ + 0.5² + … + 0.5 ^{n + 1}) · k · X ₀ + 0.5 ^{n + 1} · Y ₀ = 1 · k · X ₀.

Напомним, что выражение (0.5¹ + 0.5² + … + 0.5 ^{n + 1}) является геометрической прогрессией, сумма которой при n = ∞ равна 1. А стоящее при Y ₀ выражение 0.5 ^{n + 1} обращается в 0 при n = ∞.

Если еще усилить влияние прошлого (B = 1), то система начнет интегрировать саму себя (выход подан на вход системы), добавляя все время входной сигнал, что соответствует экспоненциальному неограниченному росту выходного сигнала: Y_{i + 1} = А · X_i + Y_i. По смыслу это соответствует положительной обратной связи. При B = –1 имеем модель: Y_{i + 1} = А · X_i – Y_i, по смыслу соответствующую отрицательной обратной связи. При определении модели требуется найти неизвестные коэффициенты k и T.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: