Вероятностные характеристики платежей
В разделе 2 получены связи между начальным капиталом S(0)=S0 и конечным капиталом S(t)=St, процентной ставке r и длительности сделки t формулы (2.2), (2.10), (2.12). При длительности сделки в один год имеем:
При длительности сделки в t лет начисляются сложные проценты по формуле:
или непрерывные проценты по формуле:
В приведенных формулах величины начального капитала S0, конечного капитала St, процентной ставки r и длительности сделки t являются некоторыми числами, т. е. детерминированными величинами. Однако, в экономике очень часто возникает неопределенность. В этом случае экономические законы можно в ряде случаев успешно описывать не детерминированными, а случайными величинами. В частности, процентная ставка далеко не всегда может быть задана каким-то одним конкретным числом. Однако предполагается, что известны некоторые вероятностные характеристики ставки процента. Тогда, процентная ставка r может быть принята за случайную величину с известной функцией распределения. Таким образом, возникают две проблемы: при известной функции распределения процентной ставки r: · найти статистические свойства конечного капитала St при условии, что известен начальный капитал S0, · найти статистические свойства начального капитала S0 при условии, что известен конечный капитал St. Прежде чем приступать к решению проблем, опишем статистические свойства процентной ставки r. Приведем необходимые сведения из теории случайных величин. Функцией распределения F(x) процентной ставки r называется вероятность того что случайная процентная ставка r принимает значения меньше x, т. е. F(x)=P(r<x), где P(*) – вероятность события *. Функцией распределения F(x) обладает свойствами:
1. F(x) изменяется в пределах от 0 до 1, т.е. 2. F(x) монотонно возрастает; 3. Вероятность попадания случайной величины (процентной ставки r) на отрезок [ a, b ] равна: Плотностью функции распределения называется производная от функции распределения. Плотность функции распределения обладает свойствами: 1. 2. 3. Вероятность попадания случайной величины на отрезок 4. Применим приведенные сведения для оценки вероятностных характеристик накопленного вклада. Рассмотрим примеры. Пример 51.
Процентная ставка r меняется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределения F(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что через год на счете будет больше $12000. Рассмотреть случай, когда процентная ставка r распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1. Решение. Используем формулу (3.33), где S0 = $10 тыс., S1 = $12 тыс. и ставка r имеет известное распределение F(r). Найдем вероятность того, что через год конечный капитал S1 превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.33), используя преобразования неравенств, получим: Таким образом, вероятность того, что конечный капитал превзойдет $12 тыс. при начальном капитале $10 тыс. равносильно вероятности того, что процентная ставка r превзойдет 20 % = 0,2. Пусть теперь процентная ставка r распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a =25 %=0,25 и среднеквадратическим отклонением σ = 10 % = 0,1. Для расчета вероятности используем нормированную нормальную функцию распределения Для перехода к нормированной нормальной функции распределения центрируем случайную величину по формуле
Для вычисления интеграла Лапласа можно использовать функцию НОРМСТРАСП() из Excel. Обобщим пример 51. Предположим, что начисление процентов происходит по схеме сложных процентов. Пример 52.
Процентная ставка r меняется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределения F(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что через t=2, 3, 5 лет на счете будет больше $12000. Начисление процентов происходит по схеме сложных процентов. Рассмотреть случай, когда процентная ставка r распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1. Решение. Используем формулу (3.34), где S0 = $10000, S1 = $12000 и ставка r имеет известное распределение F(r). Найдем вероятность того, что через t лет конечный капитал S1 превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.34), используя преобразования неравенств, получим: При длительности сделки t=2, 3, 5 лет имеем соответственно: Окончательно, используя для вычисления функции Лапласа таблицы или функцию НОРМСТРАСП() из Excel, найдем вероятность того, что конечный капитал S1 превзойдет $12 тыс. за 2, 3, 5лет соответственно: Таким образом, вероятность того, что конечный капитал превзойдет $12 тыс. при начальном капитале $10 тыс. за 2, 3, 5 лет соответственно равна 0,938899; 0,969549; 0,98336. Обобщим примеры 51, 52. Предположим, что начисление процентов происходит по схеме непрерывных процентов. Пример 53.
Процентная ставка r меняется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределения F(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что через t=2, 3, 5 лет на счете будет больше $12000. Начисление процентов происходит по схеме непрерывных процентов. Рассмотреть случай, когда процентная ставка r распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1. Решение. Используем формулу (3.35), где S0 = $10000, S1 = $12000 и ставка r имеет известное распределение F(r). Найдем вероятность того, что через t лет конечный капитал S1 превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.35), используя преобразования неравенств, получим: При длительности сделки t=2, 3, 5 лет имеем соответственно:
Окончательно, используя для вычисления функции Лапласа таблицы или функцию НОРМСТРАСП() из Excel, найдем вероятность того, что конечный капитал St превзойдет $12 тыс. за 2, 3, 5лет соответственно:
Сравнивая вероятности из примера 52 и 53, видим, что вероятность накопления капитала по непрерывным процентам больше.
Наиболее полное представление о случайной величине даёт функция распределения или плотность функции распределения. Во многих экономических приложениях можно ограничиться численными характеристиками случайной величины. Наиболее важными из них являются математическое ожидание и дисперсия. Они являются мерой среднего ожидаемого значения случайной величины и мерой разброса, рассеивания случайной величины. Математическое ожидание определяет среднее ожидаемое значение случайной величины и равно:
где r - значение случайной величины, f(r) dr – вероятность значения r случайной величины.
Свойства математического ожидания: 1. E(C) = C, где С – постоянная величина, 2. E(x + y) = E(x) + E(y), (3.36) 3. E(k x) = k E(x), где k – постоянный коэффициент. Дисперсия определяет величину отклонения случайной величины от её математического ожидания и равна взвешенной сумме квадратов разности между значением случайной величины и её математическим ожиданием:
где f(r) dr – вероятность такого отклонения.
Свойства дисперсии: 1. D(C) = 0, где С – постоянная величина. 2. D(k x) = k2 D(x), где k – постоянный коэффициент. 3. D(k x+b) = k2 D(x), где k – постоянный коэффициент,b - число.
Дисперсию удобно вычислять по теореме: Дисперсия случайной величины x равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания, то есть:
Найдем статистические характеристики конечного капитала St при условии, что известен начальный капитал S0, и функция распределения процентной ставки r. Оценим математическое ожидание и дисперсию конечного капитала St для случая, когда начисляются простые проценты за год и сложные и непрерывные проценты за t лет.
Для математического ожидания в соответствии с (3.33), (3.34), (3.35) и (3.36) имеем: E(S1) = E(S0 (1+r)) =S0 (1+ E(r)); E(St) = E(S0 (1+r)t) =S0 E((1 + r)t); E(St) = E(S0 er t) =S0 E(er t).
Таким образом, задача сводится к вычислению математического ожидания E(r), E((1 + r)t) и E(er t). В общем виде они равны соответственно:
Произведем вычисление до конца для случая равномерного распределения процентной ставки в пределах от a до b. В этом случае плотность функции распределения f(r) будет равна:
0, при r> b a b r . рис.3.12.
График этой функции представлен на рис. 3.12. Тогда, для интегралов (3.39) имеем:
Окончательно для математического ожидания конечного капитала St соответственно имеем: 1. простые проценты
2. сложные проценты
3. непрерывные проценты
Оценим дисперсию конечного капитала St для случая, когда начисляются простые проценты за год, сложные и непрерывные проценты за t лет. В соответствии с (3.33), (3.34), (3.35) и (3.37) для дисперсий имеем: D(S1) = S02 D(r), D(St) = S02 D((1+r)t), (3.44) D(St) = S02 D(er t). Для вычисления дисперсии по формуле (3.38) нужно вычислить математические ожидания от квадратов случайной величины. При равномерном распределении имеем из (3.40) соответственно:
Отсюда для дисперсии получим соответственно:
Окончательно, в соответствии с (3.44), для дисперсии конечного капитала St соответственно имеем:
Совокупность формул (3.41), (3.42), (3.43) и (3.46) дают оценки математического ожидания и дисперсию конечного капитала St для случая, когда начисляются простые проценты за год, сложные и непрерывные проценты за t лет. Найдем статистические характеристики начального капитала S0 при условии, что известен конечный капитал St, и функция распределения процентной ставки r. Оценим математическое ожидание и дисперсию начального капитала S0 для случая, когда начисляются простые проценты за год и непрерывные проценты за t лет. Рассмотрим сначала случай, когда начисляются простые проценты за год. Из (3.33) находим начальный капитал:
Тогда математическое ожидание равно:
Окончательно для математического ожидания начального вклада получим: (3.49)
Дисперсия начального вклада из (3.44), (3.46) равна: Воспользуемся теоремой (3.38) для вычисления дисперсии случайной величины
Для равномерного распределения получим:
Окончательно для дисперсии начального капитала S0 в случае равномерного распределения процентной ставки r от a до b имеем:
Рассмотрим теперь случай, когда непрерывные проценты начисляются t лет. Из (3.35) находим начальный капитал:
Тогда математическое ожидание аналогично (3.40) и (3.43) равно:
Аналогично (3.45) и (3.46) для дисперсии начального капитала S0 в случае равномерного распределения процентной ставки r от a до b имеем:
Таким образом, в данном разделе построены статистические характеристики начального и будущего капитал при известной функции распределения процентной ставки. Задача 13. Найти статистические характеристики начального капитала S0 при условии, что известен конечный капитал St, и функция распределения процентной ставки r. Оценить математическое ожидание и дисперсию начального капитала S0 для случая, когда начисляются сложные проценты за t лет. Рассмотреть случай равномерного распределения процентной ставки в пределах от a до b. Ответы:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|