Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания

Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами.

Пример 31. В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, что деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы Р*_обс > 0,95 (* — заданное значение Р_обс).

Решение. По условию задачи λ=24дет./ч=0,4дет./мин, _обс =5 мин, тогда μ=0,2, ρ=λ/μ=2.

1. Вероятность простоя каналов обслуживания:

2. Вероятность отказа в обслуживании:

Р _отк = 2³ • 0,1587/3! = 0,21.

3. Вероятность обслуживания:

Р _обс = 1 - 0,21 = 0,79.

4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

п ₃ = 2 • 0,79 = 1,58.

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:

к₃ = 1,58/3 = 0,526.

6. Абсолютная пропускная способность: А = 0,4 · 0,79 = 0,316.

При п = 3 Р_обс = 0,79 ≤ Р*_обс = 0,95. Произведя аналогичные расчеты для п = 4, получим Р ₀ = 0,14, Р_отк = 0,093, Р_обс = 0,907.

Так как Р _{о бс} = 0,907 ≤ Р* _обс = 0,95, то, произведя расчеты

для п = 5, получим

Р₀ = 0,137, Р_отк = 0,035, Р_обс = 0,965 ≥ Р*_обс = 0,95.

Ответ. Вероятность того, что при п = 3 деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

Рассмотрим задачу с использованием СМО с неограниченным ожиданием.

Пример 32. Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров (п =3) для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью λ= 30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика _обс = 3 мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

Решение. Интенсивность потока обслуживания μ=1/ _обс=1/3= 0,333, интенсивность нагрузки р = 1,5.

1. Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня:

2. Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:

Р_n = = 0,118.

3. Вероятность очереди: Р_оч = = 0,118.

4. Среднее число заявок в очереди: =0,236.

5. Среднее время ожидания заявки в очереди: = 0,472 мин.

6. Среднее время пребывания заявки в СМО: _смо=0,472+3=3,472 мин.

7. Среднее число свободных каналов: = 3 - 1,5 = 1,5.

8. Коэффициент занятости каналов обслуживания:

9. Среднее число посетителей в сберкассе: = 0,236+1,5=1,736 чел.

Ответ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.

Рассмотрим задачу с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.

Пример 33. Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью λ=6 машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (т = 2). В магазине работают три фасовщика (п = 3), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение _обс=4ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.

Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была Р*_обс ≥0.97.

Решение. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:

ρ=λ/μ = 6/3=2, μ = l/ _обс=(1/4)•12=3 авт./дн.

1. Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):

2. Вероятность отказа в обслуживании:

Р _отк ⁼ Р_п+т = 0,128· = 0,075.

3. Вероятность обслуживания:

Р_обс = 1 - 0,075 = 0,925.

Так как Р_обс =0,925< Р*_обс =0,97, произведем аналогичные вычисления для т =3, получим Р_о = 0,122, Р _отк= 0,048, Р_обс = 0,952.

Так как Р_обс = 0,952 < Р*_обс = 0,97, примем m = 4. Для этого случая

Р₀ =0,12, Р_отк =0,028, Р_обс =0,972, 0,972>0,97, емкость подсобных помещений необходимо увеличить до m= 4.

Для достижения заданной вероятности обслуживания можно увеличивать число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО для п = 4, 5 и т.д. Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных помещений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.

Найдем остальные параметры СМО для рассчитанного случая при Р₀ = 0,12, Р_отк = 0,028, Р_обс = 0,972.

4. Абсолютная пропускная способность: А =0,972·6=5,832 авт./дн.

5. Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасовщиков):

_зан = 5,832/3 = 1,944.

6. Среднее число заявок в очереди:

7. Среднее время ожидания обслуживания: _оч = = 0,09 дн.

8. Среднее число машин в магазине: = 0,548 + 1,944 = 2,492 авт.

9. Среднее время пребывания машины в магазине: _смо= дн.

Ответ. Емкость подсобных помещений магазина должна вмещать товар, привезенный 4 автомашинами (т = 4), при этом вероятность полной обработки товара будет Р_обс = 0,972.

Задачи для самостоятельного решения

Решить задачи 1-19 в предположении, что поток поступающих заявок является простейшим, и длительность обслуживания одной заявки распределена по показательному закону.

1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин. Определить показатели дежурного администратора как объекта СМО.

2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.

3. Определить среднее количество мест, не занятых автомобилями, и вероятность того, что прибывший автомобиль не найдет на стоянке свободного места.

4. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в с.

5. Определить характеристики АТС как объекта СМО.

6. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно.

7. Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

8. В службе "Скорой помощи" поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.

9. Определить основные показатели работы службы "Скорой помощи" как объекта СМО и рассчитать, сколько потребуется телефонных аппаратов, чтобы удовлетворить не менее 90% поступающих вызовов врачей.

10. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Определить среднюю длину очереди на обслуживание, считая ее неограниченной.

11. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.

12. Определить характеристики работы автозаправочной станции как объекта СМО.

1. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мас­терскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин. Определить вероятность того, что клиент получит отказ, будет обслужен, а также среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течение 1 ч, и среднее число занятых мастеров.
2. 
   Составить уравнение Колмогорова, найти финальные вероятности, если λ₁₂=3, λ₃₂= λ₁₃=2, λ₂₁=1, λ₃₁=4.
3. 
   Составить уравнение Колмогорова, найти финальные вероятности, если λ₁₂= 6, λ₃₂=3, λ₂₁= λ₂₃ =2, λ₁₃=1.
4. Поток телефонных звонков, поступающих в телеграфное отделение, внекоторых условиях практически является простейшим с интенсивностью λ=0,3 звонков в час. Найти вероятность того, что в течение 7 часов:

1) не поступит ни одного звонка;

2) поступит четыре звонка;

3) поступят, по крайней мере, три звонка.

17.

Постройте размеченный граф состояний:

 

18.

Составьте уравнение Колмогорова и найдите финальные вероятности, учитывая то, что они постоянны.

19. Построить размеченный граф состояний для станка, который находится в рабочем состоянии, если исправны 3 его узла, каждый их которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт его узла. Найти интенсивности потоков событий, если среднее время безотказной работы узлов t₁=2 ч, t₂=3 ч, t₃=4 ч, а среднее время ремонта узлов Т₁=1/2 часа, Т₂=1/3 часа, Т₃=4 часа. Составить уравнения Колмогорова.

⇐ Предыдущая18192021222324252627Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: