Оптимальная стратегия замены оборудования
Одной из важных экономических проблем является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, агрегатов, машин на новые. Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на его ремонт и обслуживание, снижаются производительность и ликвидная стоимость. Наступает время, когда старое оборудование выгоднее продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат; причем его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным. Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации. Введем обозначения: r (t)— стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет; u (t)— ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет; s (t) — остаточная стоимость оборудования возраста t лет; Р — покупная цена оборудования. Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования. Обозначим через fN (t) максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии. Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, t =0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. Так, N =1 относится к одной временной стадии, остающейся до завершения процесса, а N = N — к началу процесса.
На каждом этапе N -стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.
Возраст оборудования 0 1 2 3 t Начало Конец N N -1 1 0 Стадии Рисунок 29 Функциональные уравнения, основанные на принципе оптимальности, имеют вид:
Уравнение В первом уравнении функция r(t) — u(t) есть разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками на N- йстадии процесса. Функция Нижняя строка первого уравнения характеризуется следующим образом: функция s(t) — P представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет. Функция r (0) выражает доход, получаемый от нового оборудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т.е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию. Последняя функция Аналогичная интерпретация может быть дана уравнению для одностадийного процесса. Здесь нет слагаемого вида
Указанные уравнения являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину Расчет начинают с использования первого уравнения. Данные уравнения позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем, чтобы принять тот из них, который предполагает больший доход. Эти соотношения дают возможность не только выбрать линию поведения при решении вопроса о сохранении или замене оборудования, но и определить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений. Пример 44. Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных: Р = 10, s (t) = 0, f (t)= r (t) — u (t), представленных в таблице. Таблица 24 - Исходные данные задачи.
Решение. Уравнения запишем в следующем виде: Для N =1 (для первой стадии развития) Для N =2 (для второй стадии развития) Вычисления продолжаем до тех пор, пока не будет выполнено условие Можно не решать каждый раз уравнение, а вычисления проводить в таблице. Например, вычислим f 4(t): f 4(0)= f 1(0)+ f 3(1)=10+24=34> f 3(1)=24, f 4(1)= f 1(1)+ f 3(2)=9+21=30> f 3(1), f 4(2)= f 1(2)+ f 3(3)=8+18=26> f 3(1), f 4(3)= f 1(3)+ f 3(4)=7+17=24> f 3(1), f 4(4)= f 1(4)+ f 3(5)=6+17=23> f 3(1). Дальнейшие расчеты для f 4 (t)прекращаем, так как f 4(4)=23 < f 3(1) = 24. По результатам вычислений и по линии, разграничивающей области решений сохранения и замены оборудования, находим оптимальный цикл замены оборудования. Для данной задачи он составляет 4 года. Таблица 25 - Оформление задачи в виде таблицы.
| N | N - 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 1(t) | 4 3 2 1 0 0 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 2(t) | 9* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 3(t) | 17* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 4(t) | 24* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 5(t) | 30* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 6(t) | 35* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 7(t) | 41* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 8(t) | 48* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 9(t) | 54* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 10(t) | 60* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 11(t) | 65* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f 12(t) | 72* |
Ответ. Для получения максимальной прибыли от использования оборудования в двенадцатиэтапном процессе оптимальный цикл состоит в замене оборудования через каждые 4 года.
|
|