Расчет экономико-математической модели при нелинейных реализациях продукции.

Рассмотрим применение выше приведенных методов на примере решения задачи оптимальной реализации продукции.

Пример 41. Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже х ₁кг муки через магазин расходы на реализацию составляют х ₁² ден. ед., а при продаже х ₂кг муки посредством торговых агентов — х ₂² ден. ед.

Определить, сколько килограммов муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки выделяется для продажи 5 000 кг муки.

Решение. Составим математическую модель задачи. Найдем минимум суммарных расходов L = х ₁² + х ₂² при ограничениях: х ₁ + х ₂= 5 000, х _1, х ₂≥0.

Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

.

Найдем частные производные функции F по х ₁, х ₂ и λ, приравняем их к нулю, получим систему уравнений

откуда λ = -5 000, х ₁ = 2 500, х ₂ = 2 500, L = 12 500 000 ден. ед.

Давая х ₁значения больше и меньше 2500, находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х ₁ = х ₂ = 2 500 достигает минимума.

Таким образом, для получения минимальных расходов необходимо расходовать в сутки через магазин и торговых агентов по 2 500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 000 ден. ед.

 

Дробно-линейное программирование

Математическая модель задачи

Дробно-линейное программирование относится к нелинейному программированию, так как имеет целевую функцию, заданную в нелинейном виде.

Задача дробно-линейного программирования в общем виде записывается следующим образом:

(54)

при ограничениях: x_j ≥0, i= 1 ,…,m, j= 1 ,…n, (55)

где с_j, d_j,b_j, a_ij - постоянные коэффициенты и

Рассмотрим задачу дробно-линейного программирования в виде

(56)

при ограничениях:

(57)

Будем считать, что ≠ 0. Для решения этой задачи найдем область допустимых решений, определяемую ограничениями. Пусть эта область не является пустым множеством.

Из целевой функции найдем х ₂:

L d ₁ х ₁+ L d ₂ х ₂= с ₁ х ₁+ с ₂ х ₂,

x ₂(Ld ₂- с ₂) = х ₁(с ₁- L d ₁),

x ₂= x ₁(c ₁- Ld₁) / (Ld ₂- с ₂),

х₂ = kx ₁,

где к = (c ₁ - Ld ₁) /(Ld ₂ - с ₂).

Прямая х ₂ =кх ₁проходит через начало координат. При некотором фиксированном значении L угловой коэффициент к прямой тоже фиксирован и прямая займет определенное положение. При изменении значений L прямая х₂ = кх₁ будет поворачиваться вокруг начала координат.

 

Рисунок 26

Установим, как будет вести себя угловой коэффициент к при монотонном возрастании L. Найдем производную от к по L:

(58)

Знаменатель производной всегда положителен, а числитель от L не зависит. Следовательно, производная имеет постоянный знак и при увеличении L угловой коэффициент будет только возрастать или только убывать, а прямая будет поворачиваться в одну сторону. Если угловой коэффициент прямой имеет положительное значение, то прямая вращается против часовой стрелки, при отрицательном значении к — по часовой стрелке. Установив направление вращения, находим вершину или вершины многогранника, в которых функция принимает max(min) значение, либо устанавливаем неограниченность задачи.

При этом возможны следующие случаи.

1. Область допустимых решений ограничена, максимум и минимум достигаются в ее угловых точках (рис. 27а).

2. Область допустимых решений неограничена, однако существуют угловые точки, в которых целевая функция принимает максимальное и минимальное значения (рис. 27б).

3. Область допустимых решений неограниченна, имеется один из экстремумов. Например, минимум достигается в одной из вершин области и имеет так называемый, асимптотический максимум (рис. 27в).

4.

a)

Область допустимых решений неограниченна. Максимум и минимум являются асимптотическими (рис. 27г).

Рисунок 27

 

Алгоритм решения.

1. Находим область допустимых решений.

2. Определяем угловой коэффициент к и устанавливаем направление поворота целевой функции.

3. Находим точку max(min) целевой функции или устанавливаем неразрешимость задачи.

⇐ Предыдущая21222324252627282930Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: