Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Расчет экономико-математической модели при нелинейных реализациях продукции.




Рассмотрим применение выше приведенных методов на примере решения задачи оптимальной реализации продукции.

Пример 41. Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже х 1кг муки через магазин расходы на реализацию составляют х 12 ден. ед., а при продаже х 2кг муки посредством торговых агентов — х 22 ден. ед.

Определить, сколько килограммов муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки выделяется для продажи 5 000 кг муки.

Решение. Составим математическую модель задачи. Найдем минимум суммарных расходов L = х 12 + х 22 при ограничениях: х 1 + х 2= 5 000, х 1, х 2≥0.

Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

.

Найдем частные производные функции F по х 1, х 2 и λ, приравняем их к нулю, получим систему уравнений

откуда λ = -5 000, х 1 = 2 500, х 2 = 2 500, L = 12 500 000 ден. ед.

Давая х 1значения больше и меньше 2500, находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х 1 = х 2 = 2 500 достигает минимума.

Таким образом, для получения минимальных расходов необходимо расходовать в сутки через магазин и торговых агентов по 2 500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 000 ден. ед.

 

Дробно-линейное программирование

Математическая модель задачи

Дробно-линейное программирование относится к нелинейному программированию, так как имеет целевую функцию, заданную в нелинейном виде.

Задача дробно-линейного программирования в общем виде записывается следующим образом:

(54)

при ограничениях: xj ≥0, i= 1 ,…,m, j= 1 ,…n, (55)

где сj, dj,bj, aij - постоянные коэффициенты и

Рассмотрим задачу дробно-линейного программирования в виде

(56)

при ограничениях:

(57)

Будем считать, что 0. Для решения этой задачи найдем область допустимых решений, определяемую ограничениями. Пусть эта область не является пустым множеством.

Из целевой функции найдем х 2:

L d 1 х 1+ L d 2 х 2= с 1 х 1+ с 2 х 2,

x 2(Ld 2- с 2) = х 1(с 1- L d 1),

x 2= x 1(c 1- Ld1) / (Ld 2- с 2),

х2 = kx 1,

где к = (c 1 - Ld 1) /(Ld 2 - с 2).

Прямая х 2 =кх 1проходит через начало координат. При некотором фиксированном значении L угловой коэффициент к прямой тоже фиксирован и прямая займет определенное положение. При изменении значений L прямая х2 = кх1 будет поворачиваться вокруг начала координат.

 

Рисунок 26

Установим, как будет вести себя угловой коэффициент к при монотонном возрастании L. Найдем производную от к по L:

(58)

Знаменатель производной всегда положителен, а числитель от L не зависит. Следовательно, производная имеет постоянный знак и при увеличении L угловой коэффициент будет только возрастать или только убывать, а прямая будет поворачиваться в одну сторону. Если угловой коэффициент прямой имеет положительное значение, то прямая вращается против часовой стрелки, при отрицательном значении к — по часовой стрелке. Установив направление вращения, находим вершину или вершины многогранника, в которых функция принимает max(min) значение, либо устанавливаем неограниченность задачи.

При этом возможны следующие случаи.

1. Область допустимых решений ограничена, максимум и минимум достигаются в ее угловых точках (рис. 27а).

2. Область допустимых решений неограничена, однако существуют угловые точки, в которых целевая функция принимает максимальное и минимальное значения (рис. 27б).

3. Область допустимых решений неограниченна, имеется один из экстремумов. Например, минимум достигается в одной из вершин области и имеет так называемый, асимптотический максимум (рис. 27в).

4.

       
 
   
 

a)
Область допустимых решений неограниченна. Максимум и минимум являются асимптотическими (рис. 27г).


Рисунок 27

 

Алгоритм решения.

1. Находим область допустимых решений.

2. Определяем угловой коэффициент к и устанавливаем направление поворота целевой функции.

3. Находим точку max(min) целевой функции или устанавливаем неразрешимость задачи.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...