Напряжение в любой точке поперечного сечения 

              Напряжение в любой точке поперечного сечения    

   Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости d Q (рис. 27. 2).

                                            

 где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

  В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26).

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

       

где р — расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:

         

После преобразования получим формулу для определения напря­жений в точке поперечного сечения:

         

            Тема 2. 5. Кручение                                                   225

При ρ = 0 τ _к = 0; касательное напряжение при кручении про­порционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл J_p (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. J_p является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для J_p показывает, что слои, рас­положенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27. 3)

   

      Максимальные   напряжения   при   кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что р_тaх = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитыва­ется по формуле (см. лекцию 25).

             

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем 

                                            

Обычно Jp/ р_тaх обозначают W_p и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

8 - 8060 Олофинская

226                                                                                  Лекция 27

Таким образом, для расчета максимального напряжения на по­верхности круглого бруса получаем формулу

           

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

             

где [τ _к] — допускаемое напряжение кручения.

                                         

                                    Виды  расчетов  на  прочность

Существует два вида расчета на прочность

1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса
(вала) вопасном сечении:

      

2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности  

                                                  

3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

                                                        

                                                                 Тема 2. 5. Кручение                                                             227

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27. 4).

При кручении деформация оце­нивается углом закручивания:

                                      

Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R = d/2. Откуда

             

                                                

Закон Гука имеет вид τ _к = Gγ.

Подставим выражение для γ получим

           

oткуда                                            

Произведение GJ_P называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0, 4Е. Для стали G = 0, 8·10⁵МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ 0.

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

             

где φ 0 — относительный угол закручивания, φ 0 = φ /l;

[φ 0] ≈ 1град/м = 0, 02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.

228                                                                    Лекция 27

Примеры решения задач

Из расчетов на прочность и жесткость определить потреб­ный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φ 0] = 0, 02 рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0, 8 • 10⁵ МПа.

⇐ Предыдущая43444546474849505152Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: