Формула для расчета нормальных напряжений

           Формула для расчета нормальных напряжений

при изгибе

Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32. 2).

dN — элементарная про­дольная сила в точке сечения;

dA — площадь элементарной площадки;

dm — элементарный момент, образованный силой относитель­но нейтрального слоя.

                                                    

        

264                                                    Лекция 32

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

               

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

                   

где J_x — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изо­бражена на рис. 32. 3.

 

      По эпюре распределения нор­мальных напряжений видно, что максимальное напряжение возника­ет на поверхности.

      Подставим  в    формулу     напряжения значение     у = у_тах.

    

                           J x                                                      J x

Отношение ---- принято обозначать W_x:   W_x = ----.

yтах                                                 yтах

Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления.

Размерность — мм³.

W_x характеризует влияние формы и размеров сечения на проч­ность при изгибе.

Напряжение    на поверхности  

                                                           Тема 2. 6. Изгиб                                                                      265

     

         Рациональные сечения при изгибе

Определим рациональные сечения при изгибе, для этого срав­ним моменты сопротивления простейших сечений.

Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32. 4, вывод формулы в лекции 25) равен 

                                                

Осевой момент сопротивления прямо­угольника

Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений (рис. 32. 5).

             

Вариант на рис. 32. 5b обладает большим сопротивлением изги­бу при прочих равных условиях.

Осевой момент инерции круга (рис. 32. 6) равен

                

Все необходимые расчетные данные (площади, моменты инер­ции и сопротивления) стандартных сечений приводятся в таблицах стандартов (Приложение 1).

266                                                                          Лекция 32

Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжа­тие, выбирают сечения, симметричные относительно оси, вокруг ко­торой совершается изгиб (рис. 32. 7).

Пример

Сравним моменты сопротивления двух сечений одинаковой пло­щади: двутавра (рис. 32. 7г) и круга (рис. 32. 7а).

Двутавр № 10 имеет площадь 12 см², осевой момент инерции 198 см⁴, момент сопротивления 39, 7 см³.

Сопротивление изгибу у двутавровой балки в шесть раз выше, чем у балки круглого сечения.

Из этого примера можно сделать вывод: сечения прямо­угольные, квадратные, круглые и ромбовидные нерациональны (рис. 32. 7а, б).

           

Для материалов, обладающих разной прочностью при растяже­нии и сжатии (хрупкие материалы обладают значительно большей прочностью на сжатие, чем на растяжение), выбирают асимметрич­ные сечения тавр, рельс и др.

Расчет на прочность при изгибе

Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.

Условие прочности при изгибе:

        

                                                                  Тема 2. 6. Изгиб                                                            267

где [σ _и] — допускаемое напряжение.

По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно (рис. 32. 8).

              

При проектировочном расчете определя­ют потребные размеры поперечных сечений  балки или подбирают материал. Схема нагружения и действующие нагрузки известны.

По условию прочности можно определить нагрузочную способ­ность балки [М_и] = W_p[ σ ].

                           Примеры решения задач

Подобрать размеры сечения балки в виде двутавра. Известна схема нагружения балки (рис. 32. 9), материал — сталь, допускаемое напряжение материала при изгибе [σ _р] = [σ _с] = 160 МПа.                          Решение

1. Для защемленной балки реакции в опоре определять не следует.

Проводим расчеты по характерным точкам. Раз­меры сечения подбираем из расчета по нормаль­ным напряжениям. Эпю­ру поперечных сил стро­ить необязательно.

Определяем моменты в характерных точках. М_А = 0; М_B= F1·4; М_B = 20·4 = 80 кН·м.

В точке С приложен внешний момент пары, поэтому расчет про­водим для левого сечения (без момента) и для правого — с моментом  m.  

268                                                                                 Лекция 32

 

МС^лев = F1 • 6 - F₂ • 2; МС^лев= 20 • 6 - 45 • 2 = 30 кНм.   Момент положительный.

Мс^прав = МС^лев+ m; Мс^прав= 30 + 25 = 55 кН·м.

Момент в заделке M d = F1 · 8 - F₂ · 4 + т;

M_D = 20 · 8 - 45 · 4 + 25 = 5кНм.

Выбираем соответствующий масштаб по максимальному значе­нию изгибающего момента.

Опасное сечение — сечение балки, где действует максимальный момент. Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности

               

Основываясь на значении W_x = 500 см³ по таблице ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 30а: момент сопротивления W_x = 518 см³; пло­щадь сечения А = 49, 9 см³.

Для сравнения рассчитаем размеры балки квадратного сечения (рис. 32. 10) при  том же моменте сопротивления сечения.

              

 

Сторона квадрата  b ≥ ³ √ 6 · 500 ≈ 14, 5 см. Площадь сечения бал­ки А = b² = = 14, 5² = 210, 2см².

                                    

Балка квадратного сечения в 4 раза тяжелее.

             

⇐ Предыдущая51525354555657585960Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: