 |
Выбор уравнений регрессии. Линейное или нелинейное уравнение?. Какое нелинейное сглаживание (уравнение)?. Парабола
|
|
|
|
Выбор уравнений регрессии
Выбираться должно уравнение, которое лучше других описывает связь Y с Х. Если преимущество более сложной функции над более простой мало, лучше ограничиться более простой. Наконец, надо брать функции, которые не противоречат здравому смыслу.
Линейное или нелинейное уравнение?
При строго линейной зависимости коэффициенты корреляционного отношения hyx2 и hxy2 равны между собой и равны rxy2, т. е. n=h2-r2=0. При нелинейной связи n¹ 0.
Если по F-критерию Фишера разность n значима, лучше использовать нелинейное аналитическое сглаживание (F= 
).
Какое нелинейное сглаживание (уравнение)?
Нередко возможные уравнения подбирают на основании сравнения эмпирического графика с известными образцами кривых.
Обычно проверяют на ПК несколько возможных функций, для которых оценивается и так называемая среднеквадратичная ошибка аппроксимации.
Предпочтение отдается той функции, которая обнаруживает явно меньшую ошибку аппроксимации.
Выбор функции - наука, но в некоторой степени и искусство.
Если коэффициент корреляции велик и высоко значим, а принята, например, периодическая функция, говорят о значимой линейной компоненте изменчивости, на которую наложена циклическая изменчивость. Возможно наложение одних функций на другие.
Пример.
Анализ временного ряда
Исследуется уже приводившийся ряд данных: урожайность озимой пшеницы в Луганской области по годам с 1945 г. по 2004 г. (за 60 лет). Данные облстата.
Здесь на рис. 6 Х – годы, Y – урожайность озимой пшеницы в ц/га.
Рис. 6. Сглаживание временного ряда прямой линией
Корреляция годы – урожайность максимально значимая (r=0. 541***, r2=0. 293). Линейная компонента изменчивости очевидна (рис. 6).
|
|
|
Уравнение линейной регрессии y=12. 18+0. 2748x. Угловой коэффициент 0. 2748, т. е. на данном 60-и летнем временном интервале происходил рост урожайности в среднем на ~ 0. 275 ц/га (на ~ 1 ц/га за 4 года).
Среднеквадратичная погрешность аппроксимации прямой линией Е=47. 55.
На глаз кажется, что в последние 10-15 лет урожайность перестала расти и даже несколько снизилась (рис. 6). Это требует проверки посредством сглаживания криволинейными функциями.
Парабола
Уравнение квадратичной параболы y=1. 29+1. 1651x-0. 0137x2. На глаз видно, что аналитическое сглаживание параболой лучше, чем прямой линией (сравните рис. 6 и 7).
Рис. 7. Сглаживание временного ряда параболой и параболой с наложением периодической компоненты
Об этом же свидетельствует и ошибка аппроксимации параболой Е=37. 32, в том время как такая ошибка при сглаживании прямой Е=47. 55.
Еще в Библии описан 14-летний цикл изменения урожайности: 7 урожайных лет сменяются семью менее урожайными (голодными), а потом цикл повторяется.
Проверяли также периодическую функцию. По программе REGAN получено тригонометрическое уравнение регрессии, описывающее циклические колебания урожайности с периодом в 14 лет. Оно лучше, чем одна парабола, описывает динамику урожайности (рис. 7). Ошибка аппроксимации в этом случае минимальная (Е=31. 50).
Можно использовать еще один способ оценки того, сколь хорошо согласуются фактические значения урожайности и полученные по уравнениям линий регрессии – вычисление коэффициента корреляции пар значений: наблюдавшиеся-ожидавшиеся. Получены результаты: прямая линия r=0. 541, парабола r=0. 667; библейские (14-летние) циклы, наложенные на параболу r=0. 730. Чем выше r, тем лучше совпадение. Очевидно, что лучшие результаты дал третий способ аналитического сглаживания.
Итак, сглаживание прямой линией наиболее грубое (Е=47. 55), сглаживание параболой значительно лучше (Е=37. 32), но самые лучшие результаты дает криволинейная функция, полученная при наложении на параболу периодической компоненты изменчивости (Е=31. 50).
|
|
|
Выводы
1. В исследованный период времени средний ход урожайности такой: вначале рост – потом понижение (парабола).
2. На средний ход наложены периодические колебания урожайности (период 14 лет).
|
|
|
