1.2 Вынужденные колебания механических систем

Колебания механических систем называются вынужденными, если на систему действует внешняя периодическая возмущающая сила.

Напишем уравнение равновесия системы при вынужденных колебаниях с учетом сил трения. Силу трения считаем пропорциональной скорости колебательного движения.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется в виде:

                                   (1. 15)

Периодическую возмущающую силу и колебательное смещение зададим в виде экспоненциальных функций

                                                                      (1. 16);

                                                                     (1. 17);

 где  - амплитуда силы;

       - амплитуда перемещения;

        е – основание натуральных логарифмов, е = 2, 718;

       j =

 

В основе этого метода лежит использование геометрической интерпретации комплексных чисел на комплексной плоскости (Рис. 1. 5).

Например, вектор А изображается в виде А=В+jС, где В, С - вещественная и мнимая составляющие вектора А.

Из рисунка 1. 5 видно, что:

,

где  - абсолютная величина или модуль комплексного числа  А, j - фазовый угол

Величина       (1. 17а)

Таким образом, вектор А может быть представлен в виде:

либо в виде:

Величину j называют оператором поворота фазы. Чтобы понять это название, продифференцируем дважды (1. 17):

Колебательная скорость

90°  y j 90°

                                   (1. 18)

где                                                                                              (1. 19)

Рис. 1. 6. Векторная диаграмма колебательного процесса без трения

Если на рис. 1. 5 вектор колебательного смещения направить по вещественной оси в сторону положительных значений y, то вектор колебательной скорости будет направлен по мнимой оси j. Таким образом, умножение на j означает поворот вектора на 90° (рис. 1. 6).

 

Колебательное ускорение

                  (1. 20)

где                                                                                         (1. 21)

 - амплитуда колебательного ускорения.

Умножение на j в (1. 20) показывает, что вектор колебательного ускорения повернут относительно вектора колебательной скорости на угол 90°, а относительно вектора колебательного смещения на угол 180°. При этом амплитуда вектора ускорения в w раз больше амплитуды вектора скорости и в  w ² раз больше амплитуды вектора смещения.

Общее решение уравнения (1. 15) содержит 2 члена: первый член соответствует свободным колебаниям системы, которые в данном случае являются затухающими, ввиду наличия трения; второй соответствует вынужденным колебаниям. Выраженгие колебательного смещения при вынужденных колебаниях может быть задано в виде формулы (1. 17). Подставив в формулу (1. 15) выражения смещения, скорости и ускорения из формул (1. 18) – (1. 21) и выражение F из формулы (1. 16), получим:

                                                         (1. 22)

то есть:

 

С учетом (1. 18) - (1. 21) перепишем (1. 22) в виде:

откуда

                                                              (1. 23)

Для определения амплитуды колебательного смещения необходимо взять модуль комплексного выражения (1. 23). Тогда, на основании формулы (1. 17а) модуль равен:

 

                             (1. 24)

Теперь определим значение вектора и модуля амплитуды колебательной скорости. Ведь, именно колебательная скорость, а не колебательное смещение определяет величину энергии, излучаемой при колебаниях и степень звукоизоляции конструкций. Из формул (1. 18), (1. 20) следует

                 (1. 25)

       После подстановки в формулу (1. 15), и сокращения  получаем:

                                             (1. 26)

       отсюда:

                                               (1. 27)

                                             (1. 28)

j 2nw y0

 

Рис. 1. 7

Выражение в знаменателе (1. 27) является полным механическим сопротивлением системы (импедансом системы).

Импеданс - есть физическая величина равная отношению возмущающей силы к колебательной скорости, вызванной воздействием этой силы

                                       (1. 29)

       (1. 30)

Размерность механического сопротивления в системе СИ (Н с)/м.

       Рассмотрим три частных случая:

       1. Колебательная система состоит из одной массы, т. е. К=0, R=0 (Пример: кусок пластилина, падающий на пол). Тогда из формулы (1. 30):

                                         (1. 31)

Механическое сопротивление массы установившемуся колебательному движению пропорционально частоте колебаний. Таким образом, масса это фильтр высокочастотных колебаний.

       2. Колебательная система обладает только упругостью, т. е. m =0, R=0 (Пример: стальная пружина в звукозаписывающей аппаратуре). Тогда из формулы (1. 30):

                                         (1. 32)

Механическое сопротивление упругого элемента обратно пропорционально частоте колебаний.

       3. Колебательная система обладает только внутренним трением, т. е. m =0, К=0 (Пример: гидравлический амортизатор, рессора). Тогда из формулы (1. 30):

                                  (1. 33)

Механическое сопротивление элемента вязкого трения не зависит от частоты.

Из приведенных примеров, видно, что сопротивление массы и упругости откладываются по мнимой оси (первое – в положительном, а второе в отрицательном направлениях), а сопротивление трения – по вещественной оси.

Рис. 1. 8.

Графическая зависимость импеданса от частоты представлена на рис. 1. 8.

На рисунке обозначены Z_m - инерционная составляющая импеданса, а Z_k - жесткостная или упругая составляющая. При Z_m = Z_k в уравнении (1. 30) мнимая часть равна нулю (w m - K/w)=0 откуда определяется частота собственных колебаний . Явление совпадения частоты собственных колебаний системы с частотой возмущающей силы называется резонансом. При резонансе импеданс принимает минимальное значение и численно равен активному сопротивлению R, которое откладывается по действительной оси. Сопротивления массы и упругости откладываются по мнимой оси (рис. 1. 8).

Умножение на j, как отмечалось выше, соответствует повороту фазы на 90°. Таким образом, сопротивление массы приводит к сдвигу фазы колебательной скорости относительно возмущающей силы на 90° в одну сторону, а сопротивление упругости - на 90° в другую сторону.

При действии только силы трения сдвиг фаз между силой и скоростью отсутствуют. Сопротивление трения, вызывающее необратимые потери колебательной энергии, называется активным сопротивлением.

Сопротивление массы и упругости не приводят к уменьшению колебательной энергии, а вызывают лишь сдвиг фазы между силой и скоростью. Эти сопротивления называются реактивными.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: