1.2 Вынужденные колебания механических систем
Колебания механических систем называются вынужденными, если на систему действует внешняя периодическая возмущающая сила. Напишем уравнение равновесия системы при вынужденных колебаниях с учетом сил трения. Силу трения считаем пропорциональной скорости колебательного движения. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется в виде:
Периодическую возмущающую силу и колебательное смещение зададим в виде экспоненциальных функций
где е – основание натуральных логарифмов, е = 2, 718; j =
В основе этого метода лежит использование геометрической интерпретации комплексных чисел на комплексной плоскости (Рис. 1. 5). Например, вектор А изображается в виде А=В+jС, где В, С - вещественная и мнимая составляющие вектора А. Из рисунка 1. 5 видно, что:
где Величина Таким образом, вектор А может быть представлен в виде: либо в виде: Величину j называют оператором поворота фазы. Чтобы понять это название, продифференцируем дважды (1. 17): Колебательная скорость
где
Колебательное ускорение
где
Умножение на j в (1. 20) показывает, что вектор колебательного ускорения повернут относительно вектора колебательной скорости на угол 90°, а относительно вектора колебательного смещения на угол 180°. При этом амплитуда вектора ускорения в w раз больше амплитуды вектора скорости и в w 2 раз больше амплитуды вектора смещения. Общее решение уравнения (1. 15) содержит 2 члена: первый член соответствует свободным колебаниям системы, которые в данном случае являются затухающими, ввиду наличия трения; второй соответствует вынужденным колебаниям. Выраженгие колебательного смещения при вынужденных колебаниях может быть задано в виде формулы (1. 17). Подставив в формулу (1. 15) выражения смещения, скорости и ускорения из формул (1. 18) – (1. 21) и выражение F из формулы (1. 16), получим:
то есть:
С учетом (1. 18) - (1. 21) перепишем (1. 22) в виде: откуда
Для определения амплитуды колебательного смещения необходимо взять модуль комплексного выражения (1. 23). Тогда, на основании формулы (1. 17а) модуль равен:
Теперь определим значение вектора и модуля амплитуды колебательной скорости. Ведь, именно колебательная скорость, а не колебательное смещение определяет величину энергии, излучаемой при колебаниях и степень звукоизоляции конструкций. Из формул (1. 18), (1. 20) следует
После подстановки в формулу (1. 15), и сокращения
отсюда:
Импеданс - есть физическая величина равная отношению возмущающей силы к колебательной скорости, вызванной воздействием этой силы
Размерность механического сопротивления в системе СИ (Н Рассмотрим три частных случая: 1. Колебательная система состоит из одной массы, т. е. К=0, R=0 (Пример: кусок пластилина, падающий на пол). Тогда из формулы (1. 30):
Механическое сопротивление массы установившемуся колебательному движению пропорционально частоте колебаний. Таким образом, масса это фильтр высокочастотных колебаний. 2. Колебательная система обладает только упругостью, т. е. m =0, R=0 (Пример: стальная пружина в звукозаписывающей аппаратуре). Тогда из формулы (1. 30):
Механическое сопротивление упругого элемента обратно пропорционально частоте колебаний. 3. Колебательная система обладает только внутренним трением, т. е. m =0, К=0 (Пример: гидравлический амортизатор, рессора). Тогда из формулы (1. 30):
Механическое сопротивление элемента вязкого трения не зависит от частоты. Из приведенных примеров, видно, что сопротивление массы и упругости откладываются по мнимой оси (первое – в положительном, а второе в отрицательном направлениях), а сопротивление трения – по вещественной оси.
Графическая зависимость импеданса от частоты представлена на рис. 1. 8.
На рисунке обозначены Zm - инерционная составляющая импеданса, а Zk - жесткостная или упругая составляющая. При Zm = Zk в уравнении (1. 30) мнимая часть равна нулю (w m - K/w)=0 откуда определяется частота собственных колебаний
Умножение на j, как отмечалось выше, соответствует повороту фазы на 90°. Таким образом, сопротивление массы приводит к сдвигу фазы колебательной скорости относительно возмущающей силы на 90° в одну сторону, а сопротивление упругости - на 90° в другую сторону. При действии только силы трения сдвиг фаз между силой и скоростью отсутствуют. Сопротивление трения, вызывающее необратимые потери колебательной энергии, называется активным сопротивлением. Сопротивление массы и упругости не приводят к уменьшению колебательной энергии, а вызывают лишь сдвиг фазы между силой и скоростью. Эти сопротивления называются реактивными.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|