 |
Определение и примеры линейных пространств.?
|
|
|
|
Определение 1.1.
Множество L элементов x, y, z,... любой природы называют линей- ным пространством, если выполнены три условия: 1) задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам x, y ∈ L ставится в соответствие элемент z ∈ L, называемый суммой элементов x и y и обозначае- мый z = x + y; 2) задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу x ∈ L и любому числу λ ∈ R ставится в соответствие элемент z ∈ L, называемый произведе- нием элемента x на (действительное) число и обозначаемый z = λx; 3) указанные законы (линейные операции) подчиняются следующим аксиомам линей- ного пространства: а) сложение коммутативно: x + y = y + x; б) сложение ассоциативно: (x + y) + z = x + (y + z); в) существует такой элемент 0 ∈ L, что x + 0 = x для любого x ∈ L; г) для каждого элемента x множества L существует такой элемент (−x) ∈ L, что x + + (−x) = 0; д) произведение любого элемента x из L на единицу равно этому элементу: 1·x = x; е) умножение на число ассоциативно: λ(µx) = (λµ)x; ж) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам: (λ+µ)x = = λx + µx; з) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по элементам: λ(x + y) = λx + λy.
Элементы линейного пространства принято называть векторами. Элемент 0, существо- вание которого постулируется аксиомой в), называют нулевым вектором, а элемент (−x) — вектором, противоположным к вектору x. В понятии «линейное пространство» важно не только рассматриваемое множество L, но и заданные операции сложения элементов и умножения на число. Одно и то же множество L при одних операциях может быть линейным пространством, а при других — нет. Фактиче- ски линейным пространством является совокупность (L, +, ·) из множества элементов и двух операций, которая удовлетворяет условиям определения 1.1. В этой тройке объектов базовым все-таки является множество L, так как операции вводятся именно на этом множестве. Поэто- му понятие линейного пространства обычно ассоциируют с множеством элементов L и говорят, что L — линейное пространство. При этом, как правило, очевидно, что понимается под опе- рациями линейного пространства. Если же требуется явно указать используемые операции, то говорят: множество L — линейное пространство относительно таких-то операций. Согласно определению 1.1 линейного пространства L сумма определена для любых элемен- тов из L и всегда является элементом множества L. Подчеркивая последнее, говорят, что множество L замкнуто относительно операции сложения. Аналогично, согласно тому же определению, множество L замкнуто относительно операции умножения его элементов на действительные числа.
|
|
|
Пример 1.1.
Приведем примеры линейных пространств:
1) множество V3 (V2) всех свободных векторов в пространстве (на плоскости) с линейными операциями над векторами — линейное пространство, так как верны все аксиомы линейного пространства;
2) множество всех геометрических векторов в пространстве с началом в данной точке и параллельных данной плоскости (рис. 1.1) с линейными операциями над векторами является O Рис. 1.1 линейным пространством;
3) множество Mmn(R) матриц типа m×n, элементами кото- рых являются действительные числа, с линейными операциями над матрицами также удовлетворяет всем аксиомам линейного пространства;
4) множество матриц-строк (матриц-столбцов) длины (высоты) n является линейным про- странством относительно матричных операций сложения и умножения на число (это частный случай предыдущего примера);
5) множество Kn[x] многочленов переменного x степени, не превышающей n, которые как функции можно складывать и умножать на действительные числа;
|
|
|
6) множество всех решений данной однородной системы линейных алгебраических уравне- ний (СЛАУ). Решения можно рассматривать как матрицы-столбцы, складывать и умножать на числа по законам матричных операций. Столбец, получаемый в результате сложения реше- ний или умножения решения на число, снова будет решением системы. Поэтому определены операции, о которых говорится в определении 1.1, подчиняющиеся аксиомам линейного про- странства;
) множество функций, непрерывных на отрезке, с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число. При сложении непрерывных функций получаем непрерывную функцию, при умножении непрерывной функции на число также получаем непрерывную функ- цию. Поэтому сложение функций и умножение функции на число, не выводящие за пределы множества непрерывных на отрезке функций, можно рассматривать как операции линейного пространства. Легко убедиться, что для этих операций верны все аксиомы линейного пространства.
Линейно завсимые и линейно незавсимые элементы линейного пространства. Критерий линейной зависимости (с доказательствами). Понятие базиса и размерности пространства.?
Определение.
Систему векторов x1, x2,..., xk в линейном пространстве L называют линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.
Если же линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору только лишь в случае, когда она тривиальна, систему векторов называют линейно независимой.
Опуская слово «система», часто говорят: векторы x1, x2,..., xk линейно зависимы или соответственно линейно независимы.
Линейная зависимость системы векторов x1, x2,..., xk означает, что существуют такие коэффициенты α1, α2,..., αk ∈ R, одновременно не равные нулю, для которых выполнено равенство
α1x1 + α2x2 +... + αkxk = 0. (1.1)
Векторы x1, x2,..., xk линейно независимы, если из равенства
α1x1 + α2x2 +... + αkxk = 0 вытекает, что α1 = α2 =... = αk = 0.
В такой интерпретации понятия линейной зависимости и независимости мы будем использовать в различных доказательствах.
Следующее утверждение дает простой критерий линейной зависимости векторов.
|
|
|
Теорема 1.1.
Для того чтобы система векторов x1, x2,..., xk (k > 2) была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов системы являлся линейной комбинацией остальных
J Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть векторы x1, x2,..., xk линейно зависимы. Согласно определению 1.2, это означает, что существуют коэффициенты α1, α2,..., αk ∈ R, одновременно не равные нулю, для которых выполнено равенство (1.1). Не теряя общности, мы можем считать, что α1 6= 0, так как этого всегда можно добиться изменением нумерации векторов в системе. Из равенства (1.1), используя обычные правила преобразования выражений (см. замечание 1.1), находим
x1 = − α2 α1 x2 −... − αk α1 xk.
Следовательно, вектор x1 является линейной комбинацией остальных векторов системы.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Теперь предположим, что один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Как и выше, можно, не теряя общности, считать, что таковым является вектор x1. Согласно этому предположению, существуют такие коэффициенты α2, α3,..., αk, что x1 = α2x2 +... + αkxk. Преобразуя очевидным образом записанное выражение, получаем
1 · x1 − α2x2 −... − αkxk = 0.
В левой части этого равенства стоит линейная комбинация векторов системы. Она равна нулевому вектору, но не все ее коэффициенты равны нулю (например, коэффициент при векторе x1 равен единице). Согласно определению 1.2, это означает, что система векторов x1, x2,..., xk линейно зависима.
Опреденление.
Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:
1) эта система векторов линейно независима;
2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной ком- бинации векторов этой системы. Пусть b1,..., bn — базис в L.
Определение 1.3 говорит о том, что любой вектор x ∈ L может быть записан следующим образом:
x = x1b1 +... + xnbn.
Такую запись называют разложением вектора x по базису (или в базисе) b1,..., bn. Данное нами определение базиса согласовывается с понятием базиса в пространстве сво- бодных векторов в V1, V2 или V3. Например, в V3 базисом была названа любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов является линейно независимой, так как представление одного ее вектора в виде линейной комбинации двух других равносильно компланарности трех векторов. Но, кроме того, из курса векторной алгебры мы знаем, что любой вектор в пространстве можно выразить через произвольные три некомпланараных вектора в виде их линейной комбинации. Три компланарных вектора не могут быть базисом в V3, так как такие векторы линейно зависимы.
|
|
|
