 |
Полярная система координат. Связь между полярными и прямоугольными координатами.
|
|
|
|
Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки 
, называемой полюсом, и полупрямой 
, называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор 
, приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).
Положение точки 
в полярной системе координат определяется расстоянием 
(полярным радиусом) от точки до полюса (т.е. 
)и углом 
(полярным углом) между полярной осью и вектором 
. Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки , что записывается в виде 
. Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:
- в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;
- в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.
Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения 
. Полярный угол определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения 
, называемыми главными значениями полярного угла. В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых 
, где 
. В этом случае значениям 
полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.
С полярной системой координат 
можно связать прямоугольную систему координат 
, начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.
|
|
|
Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат {связанную с данной прямоугольной).
Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты 
точки , отличной от точки , и ее полярные координаты 
. По рис.2.28,б получаем
| (2.17) |
Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:
| (2.18) |
Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При 
из них следует, что 
. Главное значение полярного угла 
находится по формулам (рис.2.29):
Пример 2.9. В полярной системе координат :
а) изобразить координатные линии 
;
б) изобразить точки 
с полярными координатами 
. Найти главные значения полярных углов этих точек;
в) найти прямоугольные координаты точек .
Решение. а) Координатные линии 
представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии 
и 
— полупрямые (рис.2.30,а).
б) Построим точки 
и 
(рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение 
. Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой 
, изображенной на рис.2.30,а.
в) Учитывая пункт "б", найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.17) получаем:
то есть 
Пусть M – произвольная точка плоскости, x, y –её прямоугольные координаты, а
ρ,φ – полярные координаты (рисунок ниже).
Тогда
Пример 1
Прямоугольные координаты точки равны x=4, y=-4. Найти её полярные координаты.
Решение.
Значит
так как точка лежит в четвёртой четверти, то первое значение правильно.
Главное значение φ есть -π/4.
|
|
|
Пример 2
Определить какую линию представляет уравнение
Решение.
Переходя к прямоугольной системе, находим
|
|
|
