 |
Теорема 1.2 (о единственности разложения).
|
|
|
|
В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно. J Выберем в линейном пространстве L произвольный базис b1,..., bn и предположим, что вектор x имеет в этом базисе два разложения x = x1b1 +... + xnbn, x = x 0 1b1 +... + x 0 nbn. Воспользуемся тем, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические выражения. Вычитая из первого равенства второе почленно, получим
(x1 − x 0 1)b1 +... + (xn − x 0 n)bn = 0.
Так как базис — это линейно независимая система векторов, ее линейная комбинация равна 0, лишь если она тривиальная (см. определение 1.2). Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю:
x1 − x 0 1 = 0,..., xn − x 0 n = 0.
Таким образом, x1 = x 0 1,..., xn = x 0 n и два разложения вектора x в базисе b1,..., bn совпадают.
Замечание 1.2. Условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой вектор имеет в этом базисе единственное разложение, а именно тривиальное: все коэффициенты этого разложения равны нулю. Из доказательства теоремы 1.2 следует, что из единственности разложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложения любого другого вектора. # Согласно определению 1.3, базис является упорядоченной системой векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов в системе, мы получим другой базис. Порядок векторов в базисе
фиксируют для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложения произ- вольного вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить запись. Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией.
Определение 1.4. Коэффициенты разложения вектора по базису линейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называют координатами вектора в этом базисе.
|
|
|
Пример 1.7. В линейном пространстве K2[x] многочленов переменного x степени не выше 2 (см. пример 1.1) элементы x и x 2 линейно независимы: их линейная комбинация αx + βx2 есть многочлен, который равен нулю (нулевому многочлену) лишь при α = β = 0. В то же время пара этих элементов не образует базиса. Действительно, многочлен 1 нулевой степени, являющийся элементом K2[x], нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов x и x 2. Дело в том, что линейная комбинация αx + βx2 многочленов x и x 2 есть либо многочлен второй степени (при β 6= 0), либо многочлен первой степени (α 6= 0, β = 0), либо нулевой многочлен (α = β = 0). Значит, равенство 1 = αx + βx2 двух многочленов невозможно ни при каких значениях коэффициентов. В то же время три многочлена 1, x, x 2 образуют базис линейного пространства K2[x]. Докажем это.
Во-первых, система многочленов 1, x, x 2 линейно независима. Составим их линейную ком- бинацию с произвольными коэффициентами α, β, γ и приравняем нулю:
α · 1 + βx + γx2 = 0.
Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит,
α = β = γ = 0.
Во-вторых, через многочлены 1, x, x 2 можно выразить любой многочлен второй степени, т.е. любой элемент линейного пространства K2[x] можно представить в виде линейной комбинации указанных трех элементов. Возьмем произвольный многочлен
p(x) = α + βx2 + γx2.
Его запись можно рассматривать как линейную комбинацию многочленов 1, x, x 2:
p(x) = α · 1 + βx2 + γx2,
причем коэффициенты многочлена в то же время являются коэффициентами линейной комби- нации. Итак, система трех многочленов 1, x, x 2 линейно независима, а любой элемент линейного пространства K2[x] является линейной комбинацией указанной системы. Согласно определению 1.3, система многочленов 1, x, x 2 есть базис в K2[x].
|
|
|
Определение 1.5.
Максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве называют размерностью линейного пространства. Если размерность линейного пространства L равна n, т.е. существует линейно независимая система из n векторов, а любая система векторов, содержащая n+1 вектор или более, линейно зависима, то говорят, что это линейное пространство n-мерно. Размерность такого линейного пространства обозначают n = dim L. Существуют линейные пространства, в которых можно выбрать линейно независимую систему, содержащую сколь угодно большое количество векторов. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. В отличие от них, n-мерные линейные пространства на- зывают конечномерными. В этом курсе рассматриваются конечномерные линейные прост- ранства.
Пример 1.11. Линейное пространство C[0, 1] функций, непрерывных на отрезке [0, 1] (см. 1.1), является бесконечномерным, так как для любого натурального n система многочленов 1, x, x 2,..., x n, являющихся элементами этого линейного пространства, линейно независима. В самом деле, линейная комбинация этих многочленов, отвечающая набору коэффициентов α0, α1,..., αn, есть многочлен
α0 + α1x +... + αnx n,
который является нулевым (т.е. равен постоянной функции 0), только если все его коэффициенты (они же коэффициенты линейной комбинации) равны нулю.
# Оказывается, что размерность линейного пространства тесно связана с количеством векторов, которое может иметь базис линейного пространства.
Теорема 1.4. Если линейное пространство L n-мерно, то любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов является его базисом.
Теорема 1.5. Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, то dim L = n.
Из теорем 1.4 и 1.5 следует, что в каждом линейном пространстве любые два базиса содержат одно и то же количество векторов, и это количество равно размерности линейного пространства.
Пример 1.12. В линейном арифметическом пространстве R n стандартный базис (1.4) состоит из n векторов, поэтому dim R n = n, что и отражено в обозначении этого линейного пространства.
Пример 1.13. Рассмотрим однородную СЛАУ
|
|
|
