 |
Главные оси и главные моменты инерции
|
|
|
|
Начнем с определения: Если для тензора второго ранга 
существует вектор 
такой, что 
, то число 
называется главным (собственным) значением тензора, 
собственным вектором, а ось, задаваемая 
главной осью тензора.
Теорема о приведении тензора инерции к главным осям. Тензор инерции, как и любой симметричный тензор, имеет тройку ортогональных собственных векторов 
и тройку вещественных собственных значений (главных моментов) 
, причем:
1) если собственные значения различны, то собственные векторы определяются единственным образом и тензор инерции имеет вид:
;
2) если два собственных значения равны, например, 
, то однозначно определяется собственный вектор 
, а 
любые перпендикулярные к (и друг к другу); в этом случае
;
такой тензор называется трансверсально–изотропным: он не изменяется при вращении тела вокруг оси изотропии, задаваемой ;
3) Если равны все собственные значения 
, то 
любая ортонормированная тройка и тензор инерции называется шаровым:
.
Эта теорема доказывается в курсе линейной алгебры как теорема о собственных числах (значениях) и собственных векторах симметричной матрицы.
Применительно к тензору инерции ее содержание сводится к тому, что существует, по меньшей мере, одна тройка главных осей, т. е. осей, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, и тензор инерции в этих осях имеет вид: 
.
Поскольку ориентация тройки осей задается тремя параметрами (например, углами Эйлера), то возможность сделать равными нулю три центробежных момента существует.
В некоторых случаях, когда тело обладает каким-либо видом симметрии, то согласно физическому принципу Кюри–Неймана этой же симметрией должен обладать и тензор инерции; тогда главные оси могут быть найдены из соображений симметрии. Так, например, если тело обладает плоскостью симметрии Bxz, то перпендикулярная ей ось y является главной (рис. 5.8,а). Действительно, центробежные моменты 
и 
равны нулю, поскольку каждому элементу 
с координатами 
соответствует симметричный с координатами 
. Если имеется еще одна плоскость симметрии 
, перпендикулярная первой, то ось 
(а, следовательно, и 
) тоже главная: 
,так что тензор инерции для любой точки В, находящейся на линии пересечения этих плоскостей, имеет вид:
|
|
|
.
Если тело осесимметричное (рис. 5.8,б), то любая плоскость, содержащая ось , является плоскостью симметрии и, в дополнение ко всему изложенному ясно, что 
; так что тензор инерции трансверсально–изотропный:
.
Если тело обладает осью симметрии «
» – го порядка, т. е. тело переходит «само в в себя» при повороте на угол 
(на рис. 5.8,в =5), то и в этом случае тензор инерции 
трансверсально–изотропный.
| Рис. 5.8. Симметричные тела |
| в) |
| В· |
|
| a) |
|
|
|
|
| B |
| б) |
|
|
| В· |
| Рис. 5.9.Эллипсоид инерции |
|
|
|
|
|
|
|
|
| B · |
| · M |
Эллипсоид инерции
Тензору инерции, как и всякому симметричному тензору, можно поставить в соответствие наглядный геометрический объект – так называемую тензорную поверхность (рис. 5.9). Пусть 
тензор инерции в точке В. Построим квадратичную форму и приравняем ее единице:
. (5.27)
Это уравнение поверхности, описываемой вектором 
с началом в точке В, которая для положительного тензора является эллипсоидом. Действительно, записав 
в главных осях 
получим в каноническом виде 
или
. (5.27а)
Уравнение (5.27) – уравнение эллипсоида с полуосями, равными 
.
Момент инерции 
относительно оси 
с ортом 
, проходящей через точку 
и пересекающей эллипсоид в точке 
, обратно пропорционален квадрату расстояния 
:
.
Так как протяженное в каком–либо направлении тело имеет относительно оси, совпадающей с этим направлением, наименьший момент инерции, то эллипсоид инерции приблизительно повторяет форму тела.
|
|
|
Вычислим дифференциал от уравнения (5.27): 
, отсюда следует, что вектор 
перпендикулярен к эллипсоиду, поскольку вектор 
лежит в касательной плоскости к поверхности.
Например, кинетический момент тела, вращающегося вокруг точки В, равен 
, поэтому 
направлен по нормали к поверхности эллипсоида в точке его пересечения с мгновенной осью вращения, проведенной через точку В.
Если тело обладает осью симметрии «N» – го порядка, т. е. переходит «само в себя» при повороте на угол 
(см. рис. 5.8,в), то «вмороженный» в него эллипсоид инерции обладает тем же свойством и, следовательно, является эллипсоидом вращения с двумя, по меньшей мере, равными полуосями; т. е. тензор инерции трансверсально–изотропный.
|
|
|
Важные моменты: во время сгибания и распрямления поясницы спина остается прямой; необходимо сочетать дыхание и движения.
Важные моменты: вращение коленей должно выполняться по кругу; главным является движение коленей, движения остальных частей тела носят вспомогательный характер.
Важные моменты: двигаются только голова и шея, остальные части тела остаются неподвижными; при поворотах шеи следует координировать движения и дыхание.
Важные моменты: при вращении ног верхняя часть корпуса сохраняет выпрямленное неподвижное положение; колени должны делать развороты с максимально возможным размахом.
Важные моменты: удары наносятся с силой, а возвращение в исходную позицию происходит спокойно; верхняя часть корпуса и ноги остаются неподвижными.
ВЫДЕЛИМ ОСНОВНЫЕ МОМЕНТЫ
ВЫДЕЛИМ ОСНОВНЫЕ МОМЕНТЫ
ВЫДЕЛИМ ОСНОВНЫЕ МОМЕНТЫ
ВЫДЕЛИМ ОСНОВНЫЕ МОМЕНТЫ
ВЫДЕЛИМ ОСНОВНЫЕ МОМЕНТЫ
