Уравнения Лагранжа (второго рода)
Традиционно уравнения Лагранжа выводятся из уравнений Даламбера–Лагранжа для тел, состоящих из материальных точек, взаимодействие между которыми описываются только силами; хотя уравнения без какого–либо обоснования применяются для описания движения и твердых тел и твердых деформируемых тел, действие на тела-точки которых описывается силами и моментами, что влечет за собой необходимость введения наряду с возможными (виртуальными) перемещениями и возможных поворотов Вместе с тем следует заметить, что принцип Даламбера, опирающийся на первый фундаментальный закон изменения импульса (для точек–второй закон Ньютона) и на его обобщение для твердых тел – на второй (закон изменения кинетического момента) требует введения совершенно новых понятий: возможных, виртуальных и действительных перемещений и поворотов. Подобный подход способен создать у изучающего механику впечатление, что кроме фундаментальных законов необходимы еще какие–то добавочные «принципы». Мы покажем, что уравнения Лагранжа следуют из записанной в обобщенных координатах теоремы об изменении кинетической энергии, которая на основе первого и второго законов легко доказывается для систем, состоящих из материальных точек и твердых тел, воздействия на которые описываются силами и моментами; она же, разумеется, является частным случаем третьего фундаментального закона баланса энергии. Принимается следующее утверждение: нестационарных связей в общепринятой со времен Лагранжа форме
Обозначим все обобщенные координаты (в том числе и зависимости которых от времени объявляются известными) через
и, поскольку общий вид кинетической энергии для точек и твердых тел имеет вид
По теореме Эйлера об однородных функциях
Мощность внешних и внутренних воздействий для материальных точек и твердых тел является однородной линейной формой обобщенных скоростей Теорема об изменении кинетической энергии
Вследствие того, что теорема верна для всех движений, которые определяются произвольными начальными условиями и произвольными же обобщенными силами, и из-за независимости обобщенных скоростей (для голономных систем) все коэффициенты при скоростях равны нулю:
Это и есть система уравнений Лагранжа, которая с учетом начальных условий определяет действительное движение. На первый взгляд может показаться, что перечисленных факторов произвольности и независимости скоростей недостаточно, чтобы каждая из скобок в сумме ( Заметим, что уравнение (6.1) получено на основе первых двух фундаментальных законов, а внутри скобок стоят скалярные произведения уравнений этих законов и независимых для голономных систем базисных векторов Рассмотрим тело, состоящее из материальных точек. Умножим каждое уравнение
Справа в (6.3) стоит обобщенная сила
Имеем:
что и требовалось доказать. С помощью тождеств типа Лагранжа для вращательных движений
которые представлены далее, докажем справедливость аналогичного (6.4) преобразования для уравнения второго закона
где С учетом симметричности тензора инерции и первого тождества
Вычислим Теперь и с учетом второго тождества получим:
Читайте также: Анализ уравнения Бернулли Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|