8.Операции на алгебраических структурах. Группы, подгруппы, нормальные группы, их свойства.
Хорошо известны две операции на множестве Z целых чисел – сложение и умножение. Обобщением понятия операции на произвольном множестве S является отображение Среди всевозможных алгебраических систем с одной ассоциативной операцией самыми изученными являются группы. Теория групп – один из старейших разделов абстрактной алгебры, чрезвычайно богатый приложениями. Группой a) операция " b) в G существует единичный элемент (единица) e, такой, что
c)
Если к тому же операция " Часто Группа, образованная множеством классов вычетов по модулю n, называется группой
Подмножество H группы G называется подгруппой этой группы, если H само образует группу относительно операции группы G. Подгруппы группы G, отличные от тривиальных групп Обобщением понятия сравнимости по модулю n является Теорема 1. Если H – подгруппа группы G, то отношение
является отношением эквивалентности. Соответствующие отношению
Аналогично можно определить разбиение группы G на правые смежные классы по подгруппе H
которые совпадают с левыми для абелевой группы G. Если число смежных классов конечно, то оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается Теорема 2. (Теорема Лагранжа). Для подгруппы H конечной группы G
Как следствие получаем: порядок подгруппы всегда делит порядок группы. Так как Подгруппа H группы G называется нормальной в G, если выполнено условие
Нормальные подгруппы играют особо важную роль в теории групп. Условие
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|