10.Графы и орграфы. Простейшие типы графов. Представление отношений графами.

Граф (неориентированный) G определяется множеством вершин , множеством ребер и отношением инцидентности, которое каждому ребру сопоставляет одну или две вершины, называемые его концами.

Граф называется конечным, если множества  и  конечны, т. е.  и . Ребро называется звеном, если оно имеет два конца и петлей, если конец один. Удобно считать, что каждое ребро имеет два конца, совпадающие в случае петли. Вершины графа G, соединенные ребром называются смежными, как и два ребра, инцидентные одной вершине.

Два и более звеньев, имеющих одинаковые пары концов, образуют кратное соединение и называются кратными ребрами. Граф без петель и кратных ребер называется простым. Часто под термином граф понимается именно простой граф. Графы, содержащие петли и (или) кратные ребра, называют псевдографами, мультиграфами и т. д.

Терминология теории графов еще не стандартизирована. Вместо терминов " вершина" и " ребро" соответственно употребляются также " узел", " точка" и " ветвь", " линия", использующиеся в теории электрических цепей и геометрии.

Если каждому ребру графа G приписана ориентация, то граф называется ориентированным или орграфом. Точнее, орграф G определяется множеством вершин  и множеством  упорядоченных пар вершин, называемых ориентированными ребрами или дугами.

Известным примером графа является граф выпуклого многогранника, вершины и ребра которого рассматриваются соответственно в качестве вершин и ребер графа. Электрическая цепь, карта дорог, генеалогическое дерево, программа для ЭВМ и т. п. также дают примеры графов.

По определению граф определяет бинарное отношение. Поэтому он широко используется и в математике, большая часть которой может быть описана на языке бинарных отношений. Графом отношения называется ориентированный граф, в котором любая дуга (v, w) существует только в том случае, если элементы v и w, представляемые вершинами v и w, находятся в данном бинарном отношении r, т. е. vrw.

Граф отношения является наглядной формой представления отношения r, так как он полностью перечисляет все упорядоченные пары вершин-элементов, для которых отношение r имеет место. Граф отношения может обладать специальными свойствами: рефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью и т. д., отражающими соответствующие свойства отношения.

Будем говорить, что граф отношения является рефлексивным, если каждая вершина имеет петлю, и антирефлексивным, если ни одна вершина петли не имеет.

Будем говорить, что граф отношения является симметричным, если каждой дуге (v, w) соответствует дуга (w, v), и антисимметричным, если каждая дуга (v, w) исключает существование дуги (w, v) (заметим, что антисимметричный граф может как иметь петли, так и не иметь их! ).

Будем говорить, что граф отношения является транзитивным, если существование дуг (v, w) и (w, u) означает существование дуги (v, u), и антитранзитивным, если существование дуг (v, w) и (w, u) означает несуществование указанной дуги.

Графом отношения эквивалентности называется граф, являющийся рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Граф полного отношения (полный граф) характеризуется наличием хотя бы одной дуги для любой пары вершин. В графе неполного отношения некоторые пары вершин не соединены дугами.

Соответственно, графом отношения порядка называется антисим-метричный и транзитивный граф отношения.

Графом отношения полного порядка называется антисимметричный, транзитивный и полный граф отношения. Графом отношения неполного порядка называется антисимметричный, транзитивный и неполный граф отношения.

Графом отношения строгого порядка называется антирефлексивный, антисимметричный и транзитивный граф отношения. Графом отношения нестрогого порядка называется рефлексивный, антисимметричный и транзитивный граф отношения.

Наиболее привычным представлением графа является его геометрическое изображение в виде диаграммы.

Перечислим ряд графов простой структуры: нуль-граф (пустой граф) не имеет ни ребер, ни вершин, граф-вершина имеет одну вершину и не имеет ребер, граф-петля состоит из единственной петли и ее одного конца, граф-звено состоит из единственного звена и двух его концов.

n-кликой,  называется граф  без петель и кратных ребер, имеющий ровно n вершин и  ребер, в котором каждая пара вершин смежна. Этот граф также называется полным. Таким образом, n-клики являются простыми графами: нуль-граф является 0-кликой, граф-вершина – 1-кликой, граф-звено – 2-кликой.

n-цепью,  называется граф с n ребрами и  вершинами со следующим свойством: его ребрам можно приписать номера от 1 до n, а вершинам – от 0 до n так, чтобы концами ребра  были вершины  и , , т. е. задать естественную нумерацию. Таким образом, 1-цепи являются графами звеньями.

n-циклом,  называется граф с n ребрами и n вершинами со следующим свойством: его вершинам и ребрам можно приписать номера от 1 до n так, чтобы концами ребра  были вершины  и , , . Таким образом, 1-циклы являются графами-петлями, а 3-циклы – 3-кликами.

Степенью  вершины v в графе G называется число ребер, инцидентных этой вершине, причем петля считается дважды. В соответствии с данным определением имеем

,

причем из записанного соотношения вытекает

Теорема 1. В любом графе число вершин нечетной степени четно.