 |
Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений
|
|
|
|
Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.
Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.
В общем случае, если разность прогрессии 
, нулевой член 
, формула для любого (
-го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:
Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии
1. Если к нулевому члену прибавить или отнять разность прогрессии 
, то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.
2. Если коэффициент при переменной величине умножить на 
, то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.
3. Если 
последовательных членов бесконечной прогрессии
например , 
, 
,..., 
, сделать центральными членами 
прогрессий с одинаковой разностью, равной 
:
то прогрессия и ряд прогрессий выражают собой одни и те же числа.
Пример Ряд 
может быть заменен следующими тремя рядами: 
, 
, 
.
4. Если бесконечных прогрессий с одинаковой разностью 
имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью 
, то эти рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью 
, и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если
|
|
|
то эти прогрессий объединяются в одну: 
Пример 
, 
, 
, 
обе объединяются в одну группу 
, так как 
.
Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.
Разложение на множители
Метод разложения на множетели заключается в следующем: если
то всякое решение уравнения
является решение совокупности уравнений
Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде 
Ответ. 
; 
.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Применим формулу, получим равносильное уравнение
Ответ. 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения 
. В итоге получим равносильное уравнение
Ответ. 
, 
.
Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
При решении ряда уравнений применяются формулы.
Пример Решить уравнение 
Решение. Применив формулу, получим равносильное уравнение:
Ответ. 
, 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Применив формулу, получим равносильное уравнение:
.
Ответ. 
.
Решение уравнений с применением формул понижения степени
При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.
Пример Решить уравнение 
.
|
|
|
Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение.
.
Ответ. 
; 
.
|
|
|
