 |
Решение тригонометрических неравенств графическим методом
|
|
|
|
Заметим, что если 
--- периодическая функция, то для решения неравенства 
необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений 
, а также всех 
, отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции 
.
Рассмотрим решение неравенства 
(
).
Поскольку 
, то при 
неравенство решений не имеет. Если 
, то множество решений неравенства 
--- множество всех действительных чисел.
Пусть 
. Функция синус имеет наименьший положительный период 
, поэтому неравенство 
можно решить сначала на отрезке длиной , например, на отрезке 
. Строим графики функций 
и 
(
).
На отрезке 
функция синус возрастает, и уравнение 
, где 
, имеет один корень 
. На отрезке 
функция синус убывает, и уравнение 
имеет корень 
. На числовом промежутке 
график функции 
расположен выше графика функции 
. Поэтому для всех 
из промежутка 
) неравенство 
выполняется, если 
. В силу периодичности функции синус все решения неравенства 
задаются неравенствами вида: 
.
Аналогично решаются неравенства 
, 
, и т.п.
Пример Решим неравенство 
.
Решение. Рассмотрим график функции
и выберем из промежутка 
на оси 
значения аргумента 
, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал 
. Учитывая периодичность функции все решения неравенства можно записать так: 
.
Ответ. 
.
Пример Решите неравенство 
.
Решение. Нарисуем график функции 
. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой 
.
Это точка с абсциссой 
. По графику видно, что для всех 
график функции лежит ниже прямой 
. Следовательно, эти 
и составляют:
|
|
|
Ответ. 
.
ОТБОР КОРНЕЙ
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы <<борьбы>> с ними.
Пример Найти ближайший к числу 
корень уравнения
Решение.
Подставляя последовательно в формулу 
вместо переменной 
выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них 
, а затем сравним полученные минимальные 
между собой.
a) 
Ясно, что 
достигается при 
, то есть 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
.
Выберем минимальное из чисел 
, 
. Сразу ясно, что 
и что 
. Оталось сравнить 
и 
. Предположим, что
Последнее неравенство --- верное, а все сделанные переходы --- равносильные. Поэтому верно исходное неравенство. Обоснуем равносильность переходов (*) и (**) (равносильность остальных переходов следует из общих свойств числовых неравнств). В случае преобраования (*), достаточно заметить, что числа 
и 
расположен на участке 
монотонного возрастания функции 
. В случае перехода (**) формула 
справедлива, так как 
.
Ответ. 
.
Пример Найти корни уравнения: 
.
Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию 
. При этом заботится об условии 
нет необходимости. Все значения 
, удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первый шаг нас приводит к уравнению 
, откуда 
.
Теперь надо определить, при каких будет 
. Для этого достаточно для 
рассмотреть значения 
, 
, 
, т. е. <<обойти один раз круг>>, поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную .
|
|
|
Ответ. 
, 
.
Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.
Пример Решить уравнение:
Решение. Уравнение равносильно смешанной системе:
Но 
--- не годится.
Ответ. 
.
Раскрывая знак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимает вид:
Ответ. 
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Тест по теме <<Тригонометрические уравнения>>
• Объединение каких множеств 
, 
, 
, 
является решением уравнения 
, 
, 
, 
.
a) , б) , в) , г) ,
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Среди множеств 
, 
найдите решение уравнения
и укажите те, которые не являются подмножествами друг друга.
, 
, 
, 
, 
.
а) 
б) 
в) 
г) 
• Среди множеств , 
найдите решение уравнения
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
а) 
б) 
в) 
г) 
• Сумма корней уравнения 
на отрезке 
равна:
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение
В ответе записать количество корней уравнения, принадлежащих отрезку 
.
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решить уравнение 
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение
a) 
б) 
в) 
г) 
Найдите набольший отрицательный корень уравнения:
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
на множестве 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решить уравнение 
.
а) 
б) 
в) г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
или 
в) 
или и 
г) или и
Ответы 1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13в или г 14а 15в 16в 17в 18а или б 19г 20в
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, как простейших, так и олимпиадного уровня. Были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, причем, как специфические --- характерные только для тригонометрических уравнений и неравенств,--- так и общие функциональные методы решения уравнений и неравенств, применительно к тригонометрическим уравнениям.
|
|
|
В дипломной работе приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом. Описан процесс решения неэлементарных тригонометрических неравенств через элементарные неравенства и уже хорошо известный школьникам метод интервалов. Приведены решения типичных заданий на отбор корней. Приведены необходимые теоретических сведения для отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиеся подмножества, решение уравнений в целых числах (диафантовых).
Результаты данной дипломной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке курсовых и дипломных работ, при составлении факультативов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к вступительным экзаменам и централизованному тестированию.
|
|
|
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970.
Игудисман О., Математика на устном экзамене/ Игудисман О. --- М.: Айрис пресс, Рольф, 2001.
Азаров А.И., уравнения/Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. --- Мн.: Тривиум, 1994.
Литвиненко В.Н., Практикум по элементарной математике / Литвиненко В.Н.--- М.: Просвещение, 1991.
Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: решение задач/ Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Просвещение, 1991.
Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней/В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005 с. 23--27.
Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике/Василевский А.Б. --- Мн.: Народная асвета. 1988. --- 176с.
Сапунов П. И., Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений/Сапунов П. И. // Математическое просвещение, выпуск №3, 1935.
Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ[текст]/П.Бородин, В.Галкин, В.Панфёров, И.Сергеев, В.Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36--48.
Самусенко А.В., Математика: Типичные ошибки абитуриентов: Справочное пособие/Самусенко А.В., Казаченок В.В.--- Мн.: Вышейшая школа, 1991.
Азаров А.И., Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач/Азаров А.И., Барвенов С.А.,--- Мн.: Аверсэв, 2004.
|
|
|
