 |
Решение с исследованием функции
|
|
|
|
Пример Докажите, что все решения уравнения
--- целые числа.
Решение. Основной период исходного уравнения равен 
. Поэтому сначала исследуем это уравнение на отрезке 
.
Преобразуем уравнение к виду:
При помощи микрокалькулятора получаем:
Находим:
Если 
, то из предыдущих равенств получаем:
Решив полученное уравнение, получим: 
.
Выполненные вычисления представляют возможность предположить, что корнями уравнения, принадлежащими отрезку 
, являются 
, 
и 
.
Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу. Таким образом, доказано, что корнями уравнения являются только целые числа 
, 
.
Пример Решите уравнение 
.
Решение. Найдём основной период уравнения. У функции 
основной период равен 
. Основной период функции 
равен 
. Наименьшее общее кратное чисел 
и 
равно 
. Поэтому основной период уравнения равен 
. Пусть 
.
Очевидно, 
является решением уравнения. На интервале 
. Функция 
отрицательна. Поэтому другие корни уравнения следует искать только на интервалаx 
и 
.
При помоши микрокалькулятора сначала найдем приближенные значения корней уравнения. Для этого составляем таблицу значений функции 
на интервалах 
и 
; т. е. на интервалах 
и 
.
| 
|
|
|
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
Из таблицы легко усматриваются следующие гипотезы: корнями уравнения, принадлежащими отрезку 
, являются числа: 
; 
; 
. Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу.
|
|
|
Ответ. 
; 
; 
.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
При решении тригонометрических неравенств вида 
, где 
--- одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа 
. Разберём на примере, как решать такие неравенства.
Пример Решите неравенство 
.
Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит 
.
Для 
решением данного неравенства будут 
. Ясно также, что если некоторое число 
будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 
, то 
также будет не меньше 
. Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все 
.
Ответ. 
.
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые 
и 
соответственно (на рисунке (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.
Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол 
с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки 
до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.
|
|
|
Пример Решите неравенство 
.
Решение. Обозначим 
, тогда неравенство примет вид простейшего: 
. Рассмотрим интервал 
длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что 
. Вспоминаем теперь, что необходимо добавить 
, поскольку НПП функции 
. Итак, 
. Возвращаясь к переменной 
, получаем, что 
.
Ответ. 
.
Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.
|
|
|
