 |
ОДЗ в логарифмических уравнениях.
|
|
|
|
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
В предыдущем уроке мы освоили решение самых простых логарифмических уравнений. Кто читал, тот понял, что ничего сложного в этом нет. Однако, даже в самых примитивных логарифмических уравнениях нас может ожидать сюрприз не из приятных. С этим сюрпризом надо разобраться.
Главная проблема в решении логарифмических уравнений.
Уравнения предыдущего урока мы решали легко и правильно. А вот, например, уравнение:
log3(х2-3) = log3(2х)
так уже не решим. Хотя, по внешнему виду, это уравнение ничем не отличается от успешно решаемых элементарных...
Нет, мы решим его конечно. Решим легко, но... неправильно. Здесь таится главная засада в решении любых логарифмических уравнений. Любых - и простых, и сложных. Именно в эту засаду попадают и троечники, и отличники. Я специально поставил такую засаду в самое примитивное уравнение, чтобы с ней (с засадой) чётко разобраться. Ну что, разберёмся?
Итак, пусть нам на ЕГЭ попалось такое задание:
Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнения:
log3(х2-3) = log3(2х)
Потенцируем, т.е. убираем логарифмы (это можно!):
х2-3 = 2х
Получили обычное квадратное уравнение. Приводим к стандартному виду:
х2-2х-3 = 0
Решаем, получаем х1= 3; х2= -1
Так, корня - два, находим сумму:
3+(-1) = 2
Ответ 2.
Вроде всё честно. Но сделаем самую надёжную проверку. Подставим результаты в исходное уравнение. Сначала х1= 3, получим
log36 = log36
Всё срастается отлично. Подставляем х2= -1, получаем:
log3(-2) = log3(-2)
Оп-па! Внешне всё красиво. Одна маленькая проблемка: логарифмов от отрицательных чисел не бывает! Не существует их в природе. Это значит, что корень х = -1 не является решением нашего логарифмического уравнения. Его подстановка даёт бессмыслицу.
|
|
|
Правильный ответ был 3... Три, а не два.
Бездушный компьютер не засчитает нам это задание, да...
Так в чём же дело?! Раскрою эту страшную тайну. Всё дело в ОДЗ.
ОДЗ в логарифмических уравнениях.
Кто забыл (или не знает), что такое ОДЗ, прогуляйтесь вот по этой ссылочке: ОДЗ. Область Допустимых Значений. Там немного, не волнуйтесь.) Описана общая идея ОДЗ в применении к дробным уравнениям. Это всяко знать надо. Без понятия ОДЗ решение (даже абсолютно правильное!) любого уравнения превращается в лотерею. То ли выиграете, то ли нет...
А уж в решении логарифмических уравнений ОДЗ рулит однозначно! По той простой причине, что в логарифме есть исходные ограничения. И на основание, и на подлогарифменное выражение. Обязательно освежите в памяти (или узнайте, уж кому - как...) эти ограничения здесь.
В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется расширение ОДЗ.
И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем... Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так.
Перед решением любого логарифмического уравнения записываем ОДЗ. После этого с уравнением можно делать всё, что угодно. В смысле - решать...) Получив ответ, надо просто выяснить, входят ли корни в ОДЗ. Те что входят - это полноценные, правильные решения. Те что не входят - безжалостно выкидываем. Эти корни образовались в процессе решения самостоятельно, они лишние. Их так иногда и называют: посторонние корни.
Как записывать ОДЗ?
Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем, и именно исходный! Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это деление на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени из выражения с иксом и логарифмы с иксами.
|
|
|
Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся. Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё.
На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример:
log3(х2-3) = log3(2х)
Осматриваем пример, выясняем что деления - нет, корней - нет, но в уравнении имеются выражения с иксом внутри логарифма. Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть всегда больше нуля. Вот так прямо и пишем:
ОДЗ:
Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.
Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?
Рекомендую всегда перед решением записывать ОДЗ в таком виде. Чтобы потом, впопыхах, не забыть проверить корни на ОДЗ. Да и любой проверяющий сразу поймёт, что вы - в теме! Это внушает.)
Что делать с ОДЗ?
Итак, ОДЗ записали. Половина дела - сделана). Что дальше с этой записью делать? Вот тут у нас возникают варианты.
Вариант первый, универсальный:
Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ.
Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ:
х > √3
Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх!
Всё, соломки подстелили. Теперь можно браться и за сам пример. Смело убирать логарифмы и всякие другие преобразования делать - исходные ограничения мы записали и сохранили.
|
|
|
Решив само уравнение и получив ответы х1= 3; х2= -1, легко увидеть, что в качестве ответа годится только х1= 3. Корень х2= -1 меньше, чем корень из трёх, он - посторонний. Его мы просто отбрасываем. Вот и всё.
Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?)
А если с решением систем неравенств, того... не очень? Как быть?! Как быть, как быть... Научиться! Но если уж совсем прижало... Ладно, только для вас! Способ-лайт.)
Вариант второй, только для нехитрых уравнений.
Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так:
ОДЗ:
Дальше решаем само логарифмическое уравнение, это несложно. Опять получаем два корня: х1= 3; х2= -1.
А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.
Для х1= 3:
Просто считаем, получаем:
Всё отлично. Оба неравенства - верные. Значит, тройка проходит по ОДЗ и идёт прямиком в ответ.
Подставляем второй корень х2= -1:
Считаем и получаем:
Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.
Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему?
Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал. Т.е. бесконечный набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения... Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да...
Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений.
Ну вот, с ОДЗ - главной ловушкой в логарифмических уравнениях - мы разобрались. Самые внимательные могут спросить, почему в предыдущем уроке мы прекрасно обошлись без ОДЗ? Да просто там ОДЗ никак не сказалось на ответе! Можете проверить самостоятельно. Такое бывает. Решали, про ОДЗ - не вспомнили (или вообще не знали...), а получили-таки правильный ответ. Значит - повезло. Я же говорю - лотерея, если без ОДЗ решать...)
|
|
|
А теперь - внимание!
Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове:
Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части решаются независимо друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения.
Ключевое слово здесь - "независимо". Решая ОДЗ, можно не вспоминать про уравнение. И наоборот. Главное - в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить, да верный ответ записать.)
Подведём итоги в практических советах.
Практические советы:
1. Прежде всего - записываем условия ОДЗ по исходному примеру.
2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно - с условий ОДЗ. Выбираем то, что решается полегче.
3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.
4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.
Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз! Я не шучу.
Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:
log2(х2+5х-6) = log2(4х)
ln(х3-7х+2sinx+3) = ln(х3-7х+2sinx-4)
Ответы (в беспорядке): 2; решений нет; 1; -5.
Ну, как оно? Замечу, что страшный внешний вид некоторых примеров - обманчив. Решаются они легко.) Если у вас всё получилось быстро и правильно - можно заняться заданиями посложнее.
Если не получилось, или решалось долго - посетите раздел 555. Там эти примеры разобраны детально. Даны приёмы правильного и быстрого решения. Иногда в логарифмических уравнениях половину, а то и больше, вообще решать не надо. Ответ всё равно правильный будет. Да-да! В разделе 555 на этом особый акцент сделан.
Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да...)
А уж как сводить сложные уравнения к простейшим, как использовать на всю катушку свойства логарифмов и замену переменной, как не попасть в засаду под названием "Сужение ОДЗ" - всё это будет в следующих уроках.
|
|
|
