Метод линеаризации функций случайных аргументов

В предыдущей главе мы познакомились с весьма удобным математическим аппаратом теории вероятностей - с аппаратом числовых характеристик. Этот аппарат во многих случаях позволяет находить числовые характеристики функций случайных величин (в первую очередь - математическое ожидание и дисперсию) по числовым характеристикам аргументов, оставляя совершенно в стороне законы распределения. Такие методы непосредственного определения числовых характеристик применимы главным образом к линейным функциям.

На практике очень часто встречаются случаи, когда исследуемая функция случайных величин хотя и не является строго линейной, но практически мало отличается от линейной и при решении задач может быть приближенно заменена линейной. Это связано с тем, что во многих практических задачах случайные изменения фигурирующих в них величин выступают как незначительные «погрешности», накладывающиеся на основную закономерность. Вследствие сравнительной малости этих погрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не будучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов, оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайных изменений.

Действительно, из математики известно, что любая непрерывная дифференцируемая функция в достаточно узких пределах изменения аргументов может быть приближенно заменена линейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом, тем меньше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближе функция к линейной. Если область практически возможных значений случайных аргументов настолько мала, что в этой области функция может быть с достаточной для практики точностью линеаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно применить к последней тот аппарат числовых характеристик, который разработан для линейных функций. Зная числовые характеристики аргументов, можно будет найти числовые характеристики функции. Конечно, при этом мы получим лишь приближенное решение задачи, но в большинстве случаев точного решения и не требуется.

При решении практических задач, в которых случайные факторы сказываются в виде незначительных возмущений, налагающихся на основные закономерности, линеаризация почти всегда оказывается возможной именно в силу малости случайных возмущений.

Рассмотрим, например, задачу внешней баллистики о движении центра массы снаряда. Дальность полета снаряда определяется как некоторая функция условий стрельбы - угла бросания , начальной скорости и баллистического коэффициента :

. (11.1.1)

Функция (11.1.1) нелинейна, если рассматривать ее на всем диапазоне изменения аргументов. Поэтому, когда речь идет о решении основной задачи внешней баллистики, функция (11.1.1) выступает как нелинейная и никакой линеаризации не подлежит. Однако есть задачи, в которых такие функции линеаризуются; это - задачи, связанные с исследованием ошибок или погрешностей. Пусть нас интересует случайная ошибка в дальности полета снаряда , увязанная с наличием ряда случайных факторов: неточностью установки угла , колебаниями ствола при выстреле, баллистической неоднородностью снарядов, различными весами зарядов и т. д. Тогда мы зафиксируем определенные номинальные условия стрельбы и будем рассматривать случайные отклонения от этих условий. Диапазон таких случайных изменений, как правило, невелик, и функция , не будучи линейной во всей области изменения своих аргументов, может быть линеаризована в малой области их случайных изменений.

Метод линеаризации функций, зависящих от случайных аргументов, находит самое широкое применение в различных областях техники. Очень часто, получив решение задачи обычными методами «точных наук», желательно оценить возможные погрешности в этом решении, связанные с влиянием не учтенных при решении задачи случайных факторов. В этом случае, как правило, задача оценки погрешности успешно решается методом линеаризации, так как случайные изменения фигурирующих в задаче величин обычно невелики. Если бы это было не так, и случайные изменения аргументов выходили за пределы области примерной линейности функций, следовало бы считать техническое решение неудовлетворительным, так как оно содержало бы слишком большой элемент неопределенности.