Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Система смешанного типа с ограничением по длине очереди

В предыдущем мы рассмотрели систему массового обслуживания с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь мы рассмотрим систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания - по числу заявок, стоящих в очереди. Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее заявок; если же число заявок в очереди равно (больше оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной. Остальные допущения - о простейшем потоке заявок и о показательном распределении времени обслуживания - оставим прежними.

Итак, имеется -канальная система с ожиданием, в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом . Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний системы. Заметим, что в данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать ( обслуживаемых и стоящих в очереди). Перечислим состояния системы:

- все каналы свободны, очереди нет,

- занят один канал, очереди нет,

………

- занято каналов, очереди нет,

………

- занято каналов, очереди нет,

- заняты все каналов, очереди нет,

- заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,

………

- заняты все каналов, заявок стоит в очереди.

Очевидно, первые уравнений для вероятностей будут совпадать с уравнениями Эрланга (19.8.8). Выведем остальные уравнения. Имеем

откуда

Далее выведем уравнение для

откуда

Последнее уравнение будет

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений:

(19.11.1)

Рассмотрим предельный случай при . Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему алгебраических уравнений

(19.11.2)

и добавочное условие:

. (19.11.3)

Уравнения (19.11.2) могут быть решены так же, как мы решили аналогичные алгебраические уравнения в предыдущих . Не останавливаясь на этом решении, приведем только окончательные формулы:

, (19.11.4)

. (19.11.5)

Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности того, что в очереди уже стоят заявок.

Нетрудно заметить, что формулы (19.11.4) и (19.11.5) получаются из формул (19.10.11), (19.10.12), если положить в них и ограничить суммирование по верхней границей .

Пример. На станцию текущего ремонта автомашин поступает простейший поток заявок с плотностью (машины в час). Имеется одно помещение для ремонта. Во дворе станции могут одновременно находиться, ожидая очереди, не более трех машин. Среднее время ремонта одной машины (часа). Определить: а) пропускную способность системы; б) среднее время простоя станции; в) определить, насколько изменятся эти характеристики, если оборудовать второе помещение для ремонта.

Решение. Имеем: , , , .

а) По формуле (19.11.5), полагая , находим вероятность того, что пришедшая заявка покинет систему необслуженной:

Относительная пропускная способность системы . Абсолютная пропускная способность: (машины в час).

б) Средняя доля времени, которое система будет простаивать, найдем по формуле (19.11.4): .

в) Полагая , найдем:

(т. е. удовлетворяться будет около 98% всех заявок).

(машины в час).

Относительное время простоя: , т. е. оборудование будет простаивать полностью около 34% всего времени.

Приложения

Таблица 1 Значения нормальной функции распределения:


-0,00	0,5000	-0,30	0,3821	-0,60	0,2743
-0,01		-0,31		-0,61
-0,02		-0,32		-0,62
-0,03		-0,33		-0,63
-0,04		-0,34		-0,64
-0,05		-0,35		-0,65
-0,06		-0,36		-0,66
-0,07		-0,37		-0,67
-0,08		-0,38		-0,68
-0,09		-0,39		-0,69
-0,10	0,4602	-0,40	0,3446	-0,70	0,2420
-0,11		-0,41		-0,71
-0,12		-0,42		-0,72
-0,13		-0,43		-0,73
-0,14		-0,44		-0,74
-0,15		-0,45		-0,75
-0,16		-0,46		-0,76
-0,17		-0,47		-0,77
-0,18		-0,48		-0,78
-0,19		-0,49		-0,79
-0,20	0,4207	-0,50	0,3085	-0,80	0,2119
-0,21		-0,51		-0,81
-0,22		-0,52		-0,82
-0,23		-0,53		-0,83
-0,24		-0,54		-0,84
-0,25		-0,55		-0,85
-0,26		-0,56		-0,86
-0,27		-0,57		-0,87
-0,28		-0,58		-0,88
-0,29		-0,59		-0,89

-0,90	0,1841	-1,30	0,0968	-1,70	0,0446
-0,91		-1,31		-1,71
-0,92		-1,32		-1,72
-0,93		-1,33		-1,73
-0,94		-1,34		-1,74
-0,95		-1,35		-1,75
-0,96		-1,36		-1,76
-0,97		-1,37		-1,77
-0,98		-1,38		-1,78
-0,99		-1,39		-1,79
-1,00	0,1587	-1,40	0,0808	-1,80	0,0359
-1,01		-1,41		-1,81
-1,02		-1,42		-1,82
-1,03		-1,43		-1,83
-1,04		-1,44		-1,84
-1,05		-1,45		-1,85
-1,06		-1,46		-1,86
-1,07		-1,47		-1,87
-1,08		-1,48		-1,88
-1,09		-1,49		-1,89
-1,10	0,1357	-1,50	0,0668	-1,90	0,0288
-1,11		-1,51		-1,91
-1,12		-1,52		-1,92
-1,13		-1,53		-1,93
-1,14		-1,54		-1,94
-1,15		-1,55		-1,95
-1,16		-1,56		-1,96
-1,17		-1,57		-1,97
-1,18		-1,58		-1,98
-1,19		-1,59		-1,99
-1,20	0,1151	-1,60	0,0548	-2,00	0,0228
-1,21		-1,61		-2,10
-1,22		-1,62		-2,20
-1,23		-1,63		-2,50
-1,24		-1,64		-2,40
-1,25		-1,65		-2,50
-1,26		-1,66		-2,60
-1,27		-1,67		-2,70
-1,28		-1,68		-2,80
-1,29		-1,69		-2,90

-3,00	0,0014	0,30	0,6179	0,70	0,7580
-3,10		0,31		0,71
-3,20		0,32		0,72
-3,30		0,33		0,73
-3,40		0,34		0,74
-3,50		0,35		0,75
-3,60		0,36		0,76
-3,70		0,37		0,77
-3,80		0,38		0,78
-3,90		0,39		0,79
0,00	0,5000	0,40	0,6554	0,80	0,7881
0,01		0,41		0,81
0,02		0,42		0,82
0,03		0,43		0,83
0,04		0,44		0,84
0,05		0,45		0,85
0,06		0,46		0,86
0,07		0,47		0,87
0,08		0,48		0,88
0,09		0,49		0,89
0,10	0,5398	0,50	0,6915	0,90	0,8159
0,11		0,51		0,91
0,12		0,52		0,92
0,13		0,53		0,93
0,14		0,54		0,94
0,15		0,55		0,95
0,16		0,56		0,96
0,17		0,57		0,97
0,18		0,58		0,98
0,19		0,59		0,99
0,20	0,5793	0,60	0,7257	1,00	0,8413
0,21		0,61		1,01
0,22		0,62		1,02
0,23		0,63		1,03
0,24		0,64		1,04
0,25		0,65		1,05
0,26		0,66		1,06
0,27		0,67		1,07
0,28		0,68		1,08
0,29		0,69		1,09

1,10	0,8643	1,50	0,9332	1,90	0,9713
1,11		1,51		1,91
1,12		1,52		1,92
1,13		1,53		1,93
1,14		1,54		1,94
1,15		1,55		1,95
1,16		1,56		1,96
1,17		1,57		1,97
1,18		1,58		1,98
1,19		1,59		1,99
1,20	0,8849	1,60	0,9452	2,00	0,9772
1,21		1,61		2,10
1,22		1,62		2,20
1,23		1,63		2,30
1,24		1,64		2,40
1,25		1,65		2,50
1,26		1,66		2,60
1,27		1,67		2,70
1,28		1,68		2,80
1,29		1,69		2,90
1,30	0,9032	1,70	0,9554	3,00	0,9986
1,31		1,71		3,10
1,32		1,72		3,20
1,33		1,73		3,30
1,34		1,74		3,40
1,35		1,75		3,50
1,36		1,76		3,60
1,37		1,77		3,70
1,38		1,78		3,80
1,39		1,79		3,90	1,0000
1,40	0,9192	1,80	0,9641
1,41		1,81
1,42		1,82
1,43		1,83
1,44		1,84
1,45		1,85
1,46		1,86
1,47		1,87
1,48		1,88
1,49		1,89

Таблица 2. Значения экспоненциальной функции


0,00	1,000	0,40	0,670	0,80	0,449	3,00	0,050
0,01	0,990	0,41	0,664	0,81	0,445	3,10	0,045
						3,20
						3,30
						3,40
						3,50
						3,60
						3,70
						3,80
						3,90
0,10	0,905	0,50	0,606	0,90	0,407	4,00	0,0183
						4,10
						4,20
						4,30
						4,40
						4,50
						4,60
						4,70	0,0091
						4,80
						4,90
0,20	0,819	0,60	0,549	1,00	0,368	5,00	0,0067
				1,10		5,10
				1,20		5,20
				1,30		5,30
				1,40		5,40
				1,50		5,50
				1,60		5,60
				1,70		5,70
				1,80		5,80
				1,90		5,90
0,30	0,741	0,70	0,497	2,00	0,135	6,00	0,0025
				2,10		6,10
				2,20		6,20
				2,30		6,30
				2,40	0,091	6,40
				2,50		6,50
				2,60		6,60
				2,70		6,70
				2,80		6,80
				2,90		6,90
0,40	0,670	0,80	0,449	3,00	0,050	7,00	0,0009

Таблица 3. Значения нормальной функции


0,0	0,3989	0,0
0,1		0,1
0,2		0,2
0,3		0,3
0,4		0,4
0,5		0,5
0,6		0,6
0,7		0,7
0,8		0,8
0,9		0,9
1,0	0,2420	1,0
1,1		1,1
1,2		1,2
1,3		1,3
1,4		1,4
1,5		1,5
1,6		1,6
1,7		1,7
1,8		1,8
1,9		1,9
2,0	0,0540	2,0
2,1		2,1
2,2		2,2
2,3		2,3
2,4		2,4
2,5		2,5
2,6		2,6
2,7		2,7
2,8		2,8
2,9		2,9
3,0	0,0044	3,0
3,1		3,1
3,2		3,2
3,3		3,3
3,4		3,4
3,5		3,5
3,6		3,6
3,7		3,7
3,8		3,8
3,9		3,9

Таблица 4. Значения в зависимости от и

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,70

0,50

0,30

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

0,000

0,001

0,004

0,016

0,064

0,148

0,455

1,074

1,642

2,71

3,84

5,41

6,64

10,83

0,020

0,040

0,103

0,211

0,446

0,713

1,386

⇐ Предыдущая 80 81 82 83 84 85 86 87 8889

Воспользуйтесь поиском по сайту: