 |
Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.
|
|
|
|
По схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов: k=np+p.
Мат. ожидания: так как схему Бернулли можно представить как биноминальное распределение M(x)=np
np+p-np=p Следовательно, в схеме Бернулли наиболее вероятное число успехов может отличаться от мат. ожидания на число р - вероятность успеха и известно, что p+q=1, p=1-q p<1. А значит отличаться на 2 не может.
35. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса ϕ (x) и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?
Если число опытов достаточно велико но не бесконечно, а вероятность появления события А в каждом опыте не стремится к 0, применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р причем 1>р>0, то это событие наступает ровно m раз приблизительно равна
36. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа Φ(x). При каких условиях данная формула дает хорошее приближение?
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события А равно р, причем 1>р>0, то событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раза приблизительно равно
Эта формула дает хорошее приближение при больших n
37. Укажите выражение для функции Лапласа Ф(x). Докажите нечётность функции Ф(x) и нарисуйте график y=Ф(x). Чему равно Ф(12)?
Функция: Ф(x) = 
Доказ-во Ф(-x) = -Ф(x): запишем выражение Ф(-x) = 
и выполним замену z = -t, dz = -dt, при этом нижний предел интегрирования не изменится, а верхний станет равным x. Таким образом, Ф(-x) = 
= -Ф(x), ч.т.д.
|
|
|
График: симметричен относительно начала координат, проходит через (0;0). Горизонтальные асимптоты: -0,5 и 0,5.
Ф(12) = 0,5.
Используя интегральную приближённую формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события А от вероятности p наступления A в одном опыте.
В условиях схемы Бернулли с заданными значениями n и p для данного e>0 оценим вероятность события 
, где k – число успехов в n опытах. Это неравенство эквивалентно |k-np|£en, т.е. -en £ k-np £ en или np-en £ k £ np+en. Таким образом, речь идёт о получении оценки для вероятности события k1 £ k £ k2, где k1 = np-en, k2 = np+en. Применяя интегральную приближённую формулу Лапласа, получим: P(
» 
. С учётом нечётности функции Лапласа получаем приближённое равенство P(
» 2Ф(
. Примечание: т.к. по условию n=1, то подставляем вместо n единицу и получаем окончательный ответ.
Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона.
При n®¥, p®0 b, а величина l = np остаётся постоянной 
.
Док-во: имеем: 
, и так как p=l/n, то 
. Выражение 
- это произведение k множителей, стремящихся к 1; поэтому и всё произведение стремится к 1. Выражение 
стремится к 1. Что касается выражения 
, то его можно записать в виде 
. Замечая, что выражение в квадратных скобках имеет пределом число 
, получим окончательно: 
, где x®1. Отсюда тотчас же следует формула, указанная в теореме.
Запишите приближённые формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите примеры их применения.
формулы Пуассона: 
и 
. Они дают хорошее приближение при больших n и малых p (npq£10). Пример: в тесто засыпают большое количество изюма (например, 10000 изюмин) и нужно оценить вероятность того, что в случайно выбранной булке, испечённой из этого теста, окажется, к примеру, ровно 2 изюмины). То есть получается, что p=2/10000 = 0,0002). В этом случае также npq<10. В итоге, можем применять приближённую формулу Пуассона.
|
|
|
|
|
|
